第05讲 复数(高频精讲）-【学霸之路】2024年高考数学一轮复习高频考点精讲精练（新教材新高考）

第05讲 复数 (精讲） 目录 第一部分：知识点必背 2 第二部分：高考真题回归 4 第三部分：高频考点一遍过 6 高频考点一：复数的概念 6 高频考点二：复数的几何意义 8 高频考点三：复数分类 11 高频考点四：复数模 13 高频考点五：待定系数求复数 16 高频考点六：复数的四则运算 18 高频考点七：共轭复数 21 第四部分：数学思想方法 22 ①数形结合的思想 22 温馨提醒：浏览过程中按ctrl+Home可回到开头 第一部分：知识点必背 1、复数的概念 我们把形如的数叫做复数,其中叫做虚数单位,满足.全体复数所构成的集合叫做复数集. 复数的表示:复数通常用字母表示,即,其中的与分别叫做复数的实部与虚部. 2、复数相等 在复数集中任取两个数，，（），我们规定. 3、复数的分类 对于复数(),当且仅当时,它是实数；当且仅当时,它是实数0；当时,它叫做虚数；当且时,它叫做纯虚数.这样,复数()可以分类如下: 4、复数的几何意义 （1）复数的几何意义——与点对应 复数的几何意义1：复数复平面内的点 （2）复数的几何意义——与向量对应 复数的几何意义2：复数 平面向量 5、复数的模 向量的模叫做复数)的模，记为或 公式：，其中 复数模的几何意义：复数在复平面上对应的点到原点的距离； 特别的，时，复数是一个实数，它的模就等于(的绝对值). 6、共轭复数 （1）定义 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数；虚部不等于0的两个共轭复数也叫共轭虚数. （2）表示方法 表示方法：复数的共轭复数用表示，即如果，则. 7、复数代数形式的加法（减法）运算 （1）复数的加法法则 设，，（）是任意两个复数，那么它们的和： 显然：两个复数的和仍然是一个确定的复数 （2）复数的减法法则 类比实数集中减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足：的复数叫做复数减去复数的差，记作 注意：①两个复数的差是一个确定的复数； ②两个复数相加减等于实部与实部相加减，虚部与虚部相加减. 8、复数的三角表示式及复数的辐角和辐角的主值 （1）复数的三角形式 一般地，任何一个复数都可以表示成的形式.其中是复数的模；是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角.叫做复数的三角表示式，简称三角形式.为了与三角形式区分开来，叫做复数的代数表示式，简称代数形式. 注意：复数三角形式的特点口诀： “模非负，角相同，余弦前，加号连” （2）复数的俯角 任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差的整数倍. 复数0的辐角也是任意的，不讨论它的辐角主值. 我们规定在范围内的辐角的值为辐角的主值. 通常记作，即. （3）复数代数形式和三角形式的互化 复数的代数形式可以转化为三角形式，三角形式也可以转化为代数形式.我们可以根据运算的需要，将复数的三角形式和代数形式进行互化. 复数的代数形式化三角形式的步骤: ①先求复数的模； ②决定辐角所在的象限； ③根据象限求出辐角(常取它的主值)； ④写出复数的三角形式． （4）三角形式下复数的相等 两个用三角形式表示的复数相等的充要条件： 两个非零复数相等当且仅当它们模与辐角的主值分别相等． 9、复数三角形式的乘法 设，的三角形式分别是：，，则 简记为 ：模数相乘，幅角相加 10、复数三角形式的除法 设，，且， 因为， 所以根据复数除法的定义，有. 这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差. 简记为 ：模数相除，幅角相减 第二部分：高考真题回归 1．（2022·浙江·高考真题）已知（为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 2．（2022·北京·高考真题）若复数z满足，则（    ） A．1 B．5 C．7 D．25 3．（2022·全国（乙卷文）·高考真题）设，其中为实数，则（    ） A． B． C． D． 4．（2022·全国（甲卷理）·高考真题）若，则（    ） A． B． C． D． 5．（2022·全国（新高考Ⅱ卷）·高考真题）（    ） A． B． C． D． 6．（2022·全国（甲卷文）·高考真题）若．则（    ） A． B． C． D． 7．（2022·全国（乙卷理）·高考真题）已知，且，其中a，b为实数，则（    ） A． B． C． D． 8．（2022·全国（新高考Ⅰ卷）·高考真题）若，则（    ） A． B． C．1 D．2 9．（2022·天津·高考真题）已知是虚数单位，化简的结果为_______． 第三部分：高频考点一遍过 高频考点一：复