第04讲 一元二次函数（方程，不等式）(高频精讲）-【学霸之路】2024年高考数学一轮复习高频考点精讲精练（新教材新高考）

第04讲 一元二次函数（方程，不等式）(精讲） 目录 第一部分：知识点必背 1 第二部分：高频考点一遍过 3 高频考点一：一元二次（分式）不等式解法（不含参） 3 高频考点二：一元二次不等式解法（含参） 6 高频考点三：一元二次不等式与相应的二次函数（方程）的关系 11 高频考点四：一元二次不等式恒成立问题 15 角度1：上恒成立（优选法） 15 角度2：上成立（优选法） 17 角度3：上恒成立（优选分离变量法） 19 角度4：上成立（优选分离变量法） 22 角度5：已知参数，求取值范围（优选变更主元法） 24 高频考点五：分式不等式 27 高频考点六：一元二次不等式的应用 30 第三部分：数学思想方法 32 ①函数与方程的思想 32 ②分类与整合思想 34 温馨提醒：浏览过程中按ctrl+Home可回到开头 第一部分：知识点必背 1、二次函数 （1）形式：形如的函数叫做二次函数. （2）特点： ①函数的图象与轴交点的横坐标是方程的实根. ②当且()时，恒有()；当且()时，恒有(). 2、一元二次不等式 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式. 3.或型不等式的解集 不等式 解集 4、一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系 判别式 二次函数的图象 一元二次方程 的根 有两相异实数根，() 有两相等实数根 没有实数根 一元二次不等式 的解集 一元二次不等式 的解集 5、分式不等式解法 （1） （2） （3） （4） 6、单绝对值不等式 （1） （2） 第二部分：高频考点一遍过 高频考点一：一元二次（分式）不等式解法（不含参） 典型例题 例题1．（2023·河北·高三学业考试）不等式的解集为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【详解】由，可得 则不等式的解集为或 故选：B 例题2．（2023·高三课时练习）不等式的解集为______． 【答案】 【详解】不等式即， 的根为， 故的解集为， 即不等式的解集为， 故答案为： 例题3．（2023秋·内蒙古赤峰·高一统考期末）解下列不等式： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）， ， ， 即不等式的解集为； （2）， ， 解得或； 即不等式的解集为； （3）， 或 解得， 即不等式的解集为； （4）， 整理得， 解得， 即不等式的解集为. 练透核心考点 1．（2023秋·广东江门·高一统考期末）不等式的解集是___________. 【答案】 【详解】不等式，即，解得， 所以不等式解集为. 故答案为： 2．（2023秋·江苏无锡·高一统考期末）不等式的解集是________． 【答案】 【详解】令，则可得， 由指数函数单调性可得. 故答案为：. 3．（2023·高三课时练习）函数的定义域为______． 【答案】 【详解】要使函数有意义，则 ，解得. 所以函数的定义域为. 故答案为：. 4．（2023秋·上海徐汇·高一上海市西南位育中学校考期末）不等式的解集为_________． 【答案】 【详解】 对应的二次函数为 画出函数图像为： 所以时 不等式的解集为 故答案为： 高频考点二：一元二次不等式解法（含参） 典型例题 例题1．（2023秋·福建福州·高一福建省福州第一中学校考期末）对于给定的实数，不等式的解集可能是（    ） A．{} B． C． D． 【答案】B 【详解】①当时, ax2 +（a-1）x-1 < 0可以转化为， 所以； ②当时, ax2 +（a-1）x-1 < 0可以转化为， 所以； ③当时, (i),解集为， (ii),可以转化为，解集为 {x|x≠-1} (iii),解集为， 综上所述，不等式ax2 +（a-1）x-1 < 0的解集可能是B. 故选：B. 例题2．（2023秋·山东潍坊·高一统考期末）已知函数． (1)若的解集为，求实数的取值范围； (2)当时，解关于的不等式． 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）由题意知：在上恒成立，，解得：， 即实数的取值范围为. （2）由得：； 当时，的解为或； 当时，的解为或； 综上所述：当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为. 例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知关于的不等式：，当时解不等式． 【答案】答案不唯一，具体见解析 【详解】解：原不等式可变形为：， 当时，，所以，即原不等式的解集为； 当时，，所以，即原不等式的解集为； 当时，，令，所以， 若时，，所以原不等式的解集为， 若时，，所以原不等式的解集为， 若时，，所以原不等式的解集为， 综上可知