第03讲 基本不等式(高频精讲）-【学霸之路】2024年高考数学一轮复习高频考点精讲精练（新教材新高考）

第03讲 基本不等式 (精讲） 目录 第一部分：知识点必背 1 第二部分：高考真题回归 2 第三部分：高频考点一遍过 4 高频考点一：基本不等式的内容及辨析 4 高频考点二：利用基本不等式比较大小 6 高频考点三：利用基本不等式求最值 8 角度1：利用基本不等式求积最大值 8 角度2：利用基本不等式求和最小值 10 角度3：二次与二次（一次）的商式的最值 11 角度4：“1”的妙用求最值 12 角度5：条件等式求最值 13 高频考点四：基本不等式的恒成立问题 18 高频考点五：利用基本不等式解决实际问题 21 第四部分：数学思想方法 25 ①函数与方程 25 ②转化与化归 27 ③特殊与一般 30 温馨提醒：浏览过程中按ctrl+Home可回到开头 第一部分：知识点必背 1、基本不等式（一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”这两类陷阱） ①如果，，，当且仅当时，等号成立． ②其中叫做正数，的几何平均数；叫做正数，的算数平均数． 2、两个重要的不等式 ①（）当且仅当时，等号成立． ②（）当且仅当时，等号成立． 3、利用基本不等式求最值 ①已知，是正数，如果积等于定值，那么当且仅当时，和有最小值； ②已知，是正数，如果和等于定值，那么当且仅当时，积有最大值； 4、常用技巧 利用基本不等式求最值的变形技巧——凑、拆（分子次数高于分母次数）、除（分子次数低于分母次数））、代（1的代入）、解（整体解）. ①凑：凑项，例：； 凑系数，例：； ②拆：例：； ③除：例：； ④1的代入：例：已知，求的最小值. 解析：. ⑤整体解：例：已知,是正数，且，求的最小值. 解析：，即，解得. 第二部分：高考真题回归 1．（2021·（乙卷文）·高考真题）下列函数中最小值为4的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意； 对于B，因为，，当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意； 对于C，因为函数定义域为，而，，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意； 对于D，，函数定义域为，而且，如当，，D不符合题意． 故选：C． 2．（多选）（2022·（新高考Ⅱ卷）高考真题）若x，y满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】因为（R），由可变形为，，解得，当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确； 由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确； 因为变形可得，设，所以，因此 ，所以当时满足等式，但是不成立，所以D错误． 故选：BC． 3．（2021·天津·高考真题）若，则的最小值为____________． 【答案】 【详解】， ， 当且仅当且，即时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 第三部分：高频考点一遍过 高频考点一：基本不等式的内容及辨析 典型例题 例题1．（2023秋·重庆渝中·高一重庆巴蜀中学校考期末）下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，当时，，A不正确； 对于B，当时，，且，若，则，B不正确； 对于C，，则，即C不正确； 对于D，当时，由均值不等式得成立，当且仅当时取等号，则D正确. 故选：D 例题2．（2023秋·辽宁沈阳·高一沈阳铁路实验中学校考期末）当时，函数（    ） A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值4 D．有最小值4 【答案】A 【详解】，， ，当且仅当时等号成立， 故选：A 例题3．（多选）（2023秋·宁夏银川·高一银川一中校考期末）下列结论正确的是（    ） A．函数的最小值为2 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】BD 【详解】令，则， 在，上单调递增，故，A错误； 当时，，当且仅当时取等号，B正确； 当，时，C显然不成立； 若，，则，， 则，当且仅当时取等号，D正确． 故选：BD． 练透核心考点 1．（2023·陕西渭南·统考一模）已知，则取得最小值时的值为（   ） A．3 B．2 C．4 D．5 【答案】A 【详解】，则，当且仅当，即时等号成立. 故选：A 2．（多选）（2023秋·云南昆明·高一统考期末）已知a，，且，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】对于A，因为，故当时，不等式不成立，故A不正确； 对于B，因为，所以恒成立，当且仅当时，等号成立，故B正确； 对于C，因为，所以，则，当且仅当时，等号成立，故C正确； 对于D，因为，所以，当时满足，但，此时，故D不正确. 故选：BC. 3．（多选）（2023秋·广东广州·高一华南师大附中校考期末）下列命题中正确的是（    ） A．时，的最小值是2 B．存在实数，使得不等式成立 C．若，则 D．若，且，则