重难点03 全等三角形（4种模型2种添加辅助线方法）-【满分全攻略】2022-2023学年七年级数学下学期核心考点+重难点讲练与测试（沪教版）

重难点03全等三角形（4种模型2种添加辅助线方法） 题型一：一线三等角模型 题型二：手拉手模型 题型三：半角模型 题型四：旋转模型 题型五：倍长中线法 题型六：截长补短法 ( 技巧 方法 ) 题型一：一线三等角模型 过等腰直角三角形的直角顶点或者正方形直角顶点的一条直线。 过等腰直角三角形的另外两个顶点作该直线的垂线段，会有两个三角形全等（AAS） 常见的两种图形： 题型二：手拉手模型 【基本模型】 一、等边三角形手拉手-出全等 二、等腰直角三角形手拉手-出全等 两个共直角顶点的等腰直角三角形，绕点C旋转过程中（B、C、D不共线）始终有：1 △BCD≌△ACE；②BD⊥AE（位置关系）且BD=AE（数量关系）；③FC平分∠BFE； 题型三：半角模型 过等腰三角形顶点 两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半这样的模型称为半角模型。 常见的图形为正方形，正三角形，等腰直角三角形等，解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系。 解题技巧： 在图1中，△AEB由△AND旋转所得，可得△AEM≌△AMN， ∴BM+DN=MN∠AMB=∠AMN AB=AH △CMN的周长等于正方形周长的一半 在图2中将△ABC旋转至△BEF，易得△BED≌△BCD同理得到边角之间的关系； 总之：半角模型（题中出现角度之间的半角关系）利用旋转——证全等——得到相关结论. 题型四：旋转模型 一、奔驰模型 旋转是中考必考题型，奔驰模型是非常经典的一类题型，且近几年中考中经常出现。我们不仅要掌握这类题型，提升利用旋转解决问题的能力，更重要的是要明白一点 :旋转的本质是把分散的条件集中化，从而解决问题 二、费马点模型 费马点就是到三角形的三个顶点距离之和最小的点. 最值问题是中考常考题型，费马点属于几何中的经典题型，目前全国范围内的中考题都是从经典题改编而来，所以掌握费马点等此类最值经典题是必不可少的. 题型五：倍长中线法 三角形一边的中线（与中点有关的线段），或中点，通常考虑倍长中线或类中线，构造全等三角形.把该中线延长一倍，证明三角形全等，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法. 主要思路：倍长中线（线段）造全等 在△ABC中 AD是BC边中线 延长AD到E， 使DE=AD，连接BE 作CF⊥AD于F， 作BE⊥AD的延长线于E 连接BE 延长MD到N， 使DN=MD，连接CD 题型六：截长补短法 截长补短法在初中几何教学中有着十分重要的作用,它主要是用来证线段的和差问题,而且这种方法一直贯穿着整个几何教学的始终.那么什么是截长补短法呢?所谓截长补短其实包含两层意思,即截长和补短.截长就是在较长的线段上截取一段等于要证的两段较短的线段中的一段,证剩下的那一段等于另外一段较短的线段.当条件或结论中出现a+b=c时，用截长补短． 1、补短法：通过添加辅助线“构造”一条线段使其为求证中的两条线段之和，在证所构造的线段和求证中那一条线段相等； 2、截长法：通过添加辅助线先在求证中长线段上截取与线段中的某一段相等的线段，在证明截剩部分与线段中的另一段相等。 3、截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明，这种做法一般遇到证明三条线段之间关系是常用. 如图1，若证明线段AB,CD,EF之间存在EF=AB+CD,可以考虑截长补短法. 截长法：如图2，在EF上截取EG=AB,在证明GF=CD即可； 补短法：如图3，延长AB至H点，使BH=CD,再证明AH=EF即可. ( 能力拓展 ) 题型一：一线三等角模型 一、填空题 1．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，，且，且，请按照图中所标注的数据计算FH的长为_______． 2．（2023春·全国·七年级专题练习）如图所示，中，．直线l经过点A，过点B作于点E，过点C作于点F．若，则__________． 二、解答题 3．（2023春·全国·七年级专题练习）（1）如图1，已知：在中，，直线m经过点A，直线m，直线m，垂足分别为点D、E．证明：． （2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，，D、A、E三点都在直线m上，并且有，其中为任意钝角，请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． 4．（2023春·全国·七年级专题练习）（1）观察理解： 如图1，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l过点C，点A，B在直线l同侧，B