第九章 第9讲 抛物线 (二)-【金版教程】2024高考文科数学一轮复习创新方案word（全国统考版）

第9讲　抛物线(二) 直线与抛物线的位置关系 已知直线l：y＝kx＋m，抛物线y2＝2px(p>0)，联立得k2x2＋2(mk－p)x＋m2＝0. (1)直线l与抛物线相切：k≠0，Δ＝0； (2)直线l与抛物线相交：k≠0，Δ>0或k＝0； (3)直线l与抛物线相离：k≠0，Δ<0. 抛物线焦点弦的几个常用结论 设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 (1)x1x2＝，y1y2＝－p2； (2)若A在第一象限，B在第四象限，O为坐标原点，则|AF|＝x1＋＝，|BF|＝x2＋＝，弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝，S△AOB＝(α为直线AB的倾斜角)； (3)＋为定值； (4)以弦AB为直径的圆与准线相切； (5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切； (6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上； (7)通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p. 1．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有(　　) A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 答案　C 解析　设过点(0,1)，斜率为k的直线方程为y＝kx＋1.由得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0　(*)．当k＝0时，(*)式只有一个根；当k≠0时，Δ＝(2k－4)2－4k2＝－16k＋16，由Δ＝0，即－16k＋16＝0得k＝1.所以k＝0或k＝1时，直线与抛物线只有一个公共点，又直线x＝0和抛物线只有一个公共点，故选C. 2．(2023·四川成都模拟)已知AB是抛物线y2＝2x的一条焦点弦，|AB|＝4，则AB的中点C的横坐标是(　　) A．2 B． C． D． 答案　C 解析　因为AB是抛物线y2＝2x的一条过焦点的弦，所以|AB|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋1＝4，所以x1＋x2＝3，＝，所以AB的中点C的横坐标是.故选C. 3．(2023·山西运城模拟)已知抛物线x2＝ay与直线y＝2x－2相交于M，N两点，若MN中点的横坐标为3，则此抛物线的方程为(　　) A．x2＝y B．x2＝6y C．x2＝－3y D．x2＝3y 答案　D 解析　设点M(x1，y1)，N(x2，y2)．由消去y，得x2－2ax＋2a＝0，所以＝＝3，即a＝3，因此所求抛物线的方程为x2＝3y. 4．已知直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k的值为________. 答案　0或1 解析　直线y＝kx＋2中，当k＝0时，y＝2，此时直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且仅有一个公共点；当k≠0时，把y＝kx＋2代入抛物线y2＝8x，得(kx＋2)2＝8x，整理，得k2x2＋(4k－8)x＋4＝0，∵直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且仅有一个公共点，∴Δ＝(4k－8)2－16k2＝0，解得k＝1.故k的值为0或1. 5．斜率为的直线过抛物线C：y2＝4x的焦点，且与C交于A，B两点，则|AB|＝________. 答案　 解析　∵抛物线的方程为y2＝4x，∴抛物线的焦点为F(1，0)，又直线AB过焦点F且斜率为，∴直线AB的方程为y＝(x－1)，代入抛物线方程消去y并化简得3x2－10x＋3＝0， 解法一：解得x1＝，x2＝3，∴|AB|＝ |x1－x2|＝×|－3|＝. 解法二：Δ＝100－36＝64>0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，过A，B分别作准线x＝－1的垂线，设垂足分别为C，D，如图所示，|AB|＝|AF|＋|BF|＝|AC|＋|BD|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝. 6．已知以F为焦点的抛物线y2＝4x上的两点A，B满足＝2，则弦AB的中点到抛物线准线的距离为________. 答案　 解析　抛物线的焦点为F(1,0)，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，∵＝2，∴1－xA＝2(xB－1)，又xAxB＝1，∴xA＝2，xB＝，弦AB的中点到抛物线准线的距离为＋1＝＋1＝. 考向一　抛物线的切线 例1　(1)过抛物线x2＝4y上一点(4,4)的抛物线的切线方程为________. 答案　y＝2x－4 解析　解法一：易知切线的斜率存在，设切线方程为y－4＝k(x－4)．由⇒x2＝4(kx－4k＋4)⇒x2－4kx＋16(k－1)＝0，由Δ＝(－4k)2－4×16(k－1)＝0，得k2－4k＋4＝0.∴k＝2.∴切线方程为y－4＝2(x－4)，即y＝2x－4. 解法二：由x2＝4y得y＝，∴y′＝， ∴y′|x＝4＝＝2，∴切线方程为y－4＝2(x－4)，即y＝2x－4. (2)(2023·安徽铜陵模拟)设抛物线x2＝2py(p>0)，M为直线y＝－2p上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B，记A，B，M的横坐标分别为x