第九章 第8讲 抛物线 (一)-【金版教程】2024高考文科数学一轮复习创新方案word（全国统考版）

第8讲　抛物线(一) 1．抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线. 其数学表达式：|MF|＝d(其中d为点M到准线的距离). 2．抛物线的标准方程与几何性质 标准 方程 y2＝2px (p>0) y2＝－2px (p>0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py (p>0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图形 顶点 O(0,0) 续表 标准 方程 y2＝2px (p>0) y2＝－2px (p>0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py (p>0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离 对称轴 直线y＝0 直线x＝0 焦点 F F F F 离心率 e＝1 准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 开口方向 向右 向左 向上 向下 抛物线y2＝2px(p>0)上一点P(x0，y0)到焦点F的距离|PF|＝x0＋，也称为抛物线的焦半径． 1．抛物线y＝2x2的准线方程为(　　) A．y＝－ B．y＝－ C．y＝－ D．y＝－1 答案　A 解析　由y＝2x2，得x2＝y，故抛物线y＝2x2的准线方程为y＝－.故选A. 2．抛物线y2＝2px(p>0)的焦点到直线y＝x＋1的距离为，则p＝(　　) A．1 B．2 C．2 D．4 答案　B 解析　抛物线的焦点坐标为，其到直线x－y＋1＝0的距离为d＝＝，解得p＝2(p＝－6舍去)．故选B. 3．过点P(－2,3)的抛物线的标准方程是(　　) A．y2＝－x或x2＝y B．y2＝x或x2＝y C．y2＝x或x2＝－y D．y2＝－x或x2＝－y 答案　A 解析　设抛物线的标准方程为y2＝kx或x2＝my，代入点P(－2，3)，解得k＝－，m＝，所以抛物线的标准方程是y2＝－x或x2＝y.故选A. 4．已知抛物线C：y＝的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，且|AF|＝2y0，则x0＝(　　) A．2 B．±2 C．4 D．±4 答案　D 解析　由y＝，得x2＝8y，∴抛物线C的准线方程为y＝－2，焦点为F(0,2)．由抛物线的性质及题意，得|AF|＝2y0＝y0＋2.解得y0＝2，∴x0＝±4.故选D. 5．在平面直角坐标系中，已知M(1,0)，点B为直线l：x＝－1上的动点，点A在线段MB的垂直平分线上，且AB⊥l，则动点A的轨迹方程是(　　) A．y2＝8x B．y2＝4x C．x2＝8y D．x2＝4y 答案　B 解析　由题可知|AB|＝|AM|，AB⊥l，所以点A的轨迹是以点M为焦点，直线l为准线的抛物线，所以＝1，解得p＝2，所以点A的轨迹方程为y2＝4x.故选B. 6．设P为抛物线y2＝2px(p>0)上任意一点，F为抛物线的焦点，定点A(1,3)，且|PA|＋|PF|的最小值为，则此抛物线的方程为________. 答案　y2＝8x 解析　若A(1,3)在抛物线内部，则|PA|＋|PF|的最小值为1＋＝，故2p＝4(－1)，抛物线的方程为y2＝4(－1)x，此时A(1,3)在抛物线外部，不符合题意；若A(1,3)在抛物线外部，则|PA|＋|PF|的最小值为|AF|＝ ＝，故p＝4，抛物线的方程为y2＝8x，此时A(1,3)在抛物线外部，符合题意．综上，抛物线的方程为y2＝8x. 考向一　抛物线的定义及标准方程 例1　(1)若动点M(x，y)到点F(4,0)的距离比它到直线x＝－5的距离小1，则点M的轨迹方程是(　　) A．x＝－4 B．x＝4 C．y2＝8x D．y2＝16x 答案　D 解析　∵点M到F(4,0)的距离比它到直线x＝－5的距离小1，∴点M到F的距离与它到直线x＝－4的距离相等，故点M的轨迹是以F为焦点，直线x＝－4为准线的抛物线，得点M的轨迹方程为y2＝16x. (2)(2023·山西运城模拟)已知抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，若△FPM是边长为4的等边三角形，则此抛物线的方程为________. 答案　x2＝4y 解析　因为△FPM为等边三角形，则|PM|＝|PF|，由抛物线的定义得PM垂直于抛物线的准线，设P，则点M，因为焦点F，△FPM是边长为4的等边三角形，所以解得因此抛物线的方程为x2＝4y. 　　抛物线标准方程的求法 求抛物线的标准方程除可以用定义法和待定系数法外，还可以利用统一方程法．对于焦点在x轴上的抛物线的标准方程可统一设为y2＝ax(a≠0)，a的正负由题设来定，也就是说，不必设为y