第九章 第6讲 椭圆（二）-【金版教程】2024高考文科数学一轮复习创新方案word（全国统考版）

第6讲　椭圆(二) 1．点与椭圆的位置关系 已知点P(x0，y0)，椭圆＋＝1(a>b>0)，则 (1)点P(x0，y0)在椭圆内⇔＋<1； (2)点P(x0，y0)在椭圆上⇔＋＝1； (3)点P(x0，y0)在椭圆外⇔＋>1. 2．直线与椭圆位置关系的判断 已知直线y＝kx＋m，椭圆＋＝1，联立 得(b2＋a2k2)x2＋2a2kmx＋a2m2－a2b2＝0，若该一元二次方程的判别式为Δ，则 Δ>0⇔有两个公共点⇔相交； Δ＝0⇔有一个公共点⇔相切； Δ<0⇔无公共点⇔相离． 1．焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长lmin＝. 2．AB为椭圆＋＝1(a>b>0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)，直线AB不过原点且斜率为k(k≠0)，则 (1)弦长l＝ |x1－x2|＝ |y1－y2|； (2)直线AB的斜率k＝－； (3)直线AB的方程：y－y0＝－(x－x0)； (4)线段AB的垂直平分线方程：y－y0＝·(x－x0)． 1．直线y＝2x－1与椭圆＋＝1的位置关系是(　　) A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 答案　A 解析　解法一：直线y＝2x－1过点(1,1)，而(1,1)在椭圆内部，所以直线y＝2x－1与椭圆＋＝1相交．故选A. 解法二：由得10y2＋2y－35＝0，Δ＝22－4×10×(－35)＝1404>0，∴直线y＝2x－1与椭圆＋＝1相交．故选A. 2．直线y＝kx＋1，当k变化时，此直线被椭圆＋y2＝1截得的弦长的最大值是(　　) A．2 B． C．4 D．不能确定 答案　B 解析　直线恒过定点(0,1)，且点(0,1)在椭圆上，可设另外一个交点为(x，y)，则＋y2＝1，即x2＝4－4y2，则弦长为＝＝，因为－1≤y≤1，所以当y＝－时，弦长取得最大值. 3．(2023·河南安阳一中开学考试)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)与直线y＝x＋3只有一个公共点，且椭圆的离心率为，则椭圆C的方程为(　　) A.＋＝1 B．＋＝1 C.＋＝1 D．＋＝1 答案　B 解析　将直线方程y＝x＋3代入C的方程并整理得(a2＋b2)x2＋6a2x＋9a2－a2b2＝0，由椭圆与直线只有一个公共点，得Δ＝(6a2)2－4(a2＋b2)(9a2－a2b2)＝0，化简得a2＋b2＝9.又椭圆的离心率为，所以＝＝，则＝，解得a2＝5，b2＝4，所以椭圆C的方程为＋＝1. 4．(2023·甘肃庆阳模拟)已知椭圆Γ：＋＝1(a>b>0)的长轴长是短轴长的2倍，过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线与Γ相交于A，B两点．若＝3，则k＝(　　) A．1 B．2 C． D． 答案　D 解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为＝3，所以y1＝－3y2.因为椭圆Γ的长轴长是短轴长的2倍，所以a＝2b，则c＝b，所以＋＝1.设直线AB的方程为x＝sy＋b，代入上述椭圆方程，得(s2＋4)y2＋2sby－b2＝0，所以y1＋y2＝－，y1y2＝－，即－2y2＝－，－3y＝－，得s2＝，k＝(k>0)．故选D. 5．(2023·郑州质检)过点M(1,1)作斜率为－的直线与椭圆C：＋＝1(a>b>0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于________. 答案　 解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，且A，B在椭圆上，则两式相减，得＋＝0， ∴＋＝0，由题意知x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，＝－，∴＋＝0，∴a2＝3b2，∴e＝ ＝. 6．已知椭圆的方程为＋＝1，左、右焦点分别为F1，F2，经过点F1的一条直线与椭圆交于A，B两点．若直线AB的倾斜角为，则弦长|AB|为________. 答案　 解析　由椭圆的方程可知左焦点F1(－1,0)，若直线AB的倾斜角为，则直线的斜率k＝1，故直线AB的方程为y＝x＋1，联立方程组消去x整理得7y2－6y－9＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系可知y1＋y2＝，y1y2＝－，则由弦长公式得|AB|＝·＝·＝. 考向一　直线与椭圆的位置关系 例1　已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C： (1)有两个不重合的公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点． 解　将直线l的方程与椭圆C的方程联立， 得方程组 将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.③ 方程③根的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144. (1)当Δ>0，即－3<m<3时，方程③有两个不相等的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个不重合的公共点． (2)当Δ＝0，即m＝±3时，方程③有两个相等的实