第九章 第5讲 椭圆（一）-【金版教程】2024高考文科数学一轮复习创新方案word（全国统考版）

第5讲　椭圆(一) 1．椭圆的概念 (1)文字叙述 在平面内到两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫做椭圆.这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距. (2)数学符号表示 集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数： ①若a>c，则集合P表示椭圆； ②若a＝c，则集合P表示线段F1F2； ③若a<c，则集合P为空集． 2．椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 ＋＝1 (a>b>0) ＋＝1 (a>b>0) 图形 性质 范围 －a≤x≤a －b≤y≤b －b≤x≤b －a≤y≤a 对称性 对称轴：坐标轴　　 　对称中心：原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a) B1(－b,0)，B2(b,0) 轴 长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b 焦距 |F1F2|＝2c 焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) 离心率 e＝∈(0,1) a，b，c的关系 c2＝a2－b2 椭圆的焦点三角形 椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形．如图所示，设∠F1PF2＝θ. (1)当P为短轴端点时，θ最大． (2)S△PF1F2＝|PF1||PF2|sinθ＝b2tan＝c|y0|，当|y0|＝b时，即点P为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc. (3)焦点三角形的周长为2(a＋c)． (4)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cosθ. 1．已知椭圆＋＝1(m>0)的左焦点为F1(－4，0)，则m＝(　　) A．2 B．3 C．4 D．9 答案　B 解析　由4＝(m>0 )，得m＝3.故选B. 2．若椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，且长轴长是短轴长的两倍，则m的值为(　　) A. B． C．2 D．4 答案　A 解析　将原方程变形为x2＋＝1.由题意知a2＝，b2＝1，∴a＝ ，b＝1.∴ ＝2，∴m＝. 3．(2023·四川成都模拟)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则椭圆C的方程是(　　) A.＋＝1 B．＋＝1 C.＋＝1 D．＋＝1 答案　D 解析　依题意，设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，所以解得a2＝9，b2＝8.故椭圆C的方程为＋＝1. 4．已知F1，F2是椭圆C：＋＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为(　　) A．13 B．12 C．9 D．6 答案　C 解析　由椭圆的定义可知，|MF1|＋|MF2|＝2a＝6.由基本不等式可得|MF1|·|MF2|≤2＝2＝9，当且仅当|MF1|＝|MF2|＝3时等号成立．故选C. 5．(2023·常州调研)若方程＋＝1表示椭圆，则k的取值范围是________. 答案　(3,4)∪(4,5) 解析　由已知得解得3<k<5且k≠4. 6．已知点P(x1，y1)是椭圆＋＝1上的一点，F1，F2是其左、右焦点，当∠F1PF2最大时，△PF1F2的面积是________. 答案　12 解析　∵椭圆的方程为＋＝1，∴a＝5，b＝4，c＝＝3，∴F1(－3,0)，F2(3,0)．根据椭圆的性质可知当点P与短轴端点重合时，∠F1PF2最大，此时△PF1F2的面积S＝×2×3×4＝12. 考向一　椭圆定义及其应用 例1　(1)已知圆(x＋2)2＋y2＝36的圆心为M，设A是圆上任意一点，N(2,0)，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是(　　) A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 答案　B 解析　点P在线段AN的垂直平分线上，故|PA|＝|PN|.又MA是圆的半径，所以|PM|＋|PN|＝|PM|＋|PA|＝|AM|＝6>|MN|.由椭圆的定义知，动点P的轨迹是椭圆． (2)(2022·甘肃兰州模拟)设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|＝3|F1B|，且|AB|＝4，△ABF2的周长为16.则|AF2|＝(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 答案　C 解析　由|AF1|＝3|F1B|，|AB|＝4，得|AF1|＝3.∵△ABF2的周长为16，∴4a＝16，∴a＝4.则|AF1|＋|AF2|＝2a＝8，∴|AF2|＝8－|AF1|＝8－3＝5.故选C. (3)(2023·成都模拟)已知点F1，F2分别为椭圆C：＋＝1的左、右焦点，若点P在椭圆C上，且∠F1PF2＝60°，则S△F1