第九章 第4讲 直线与圆、圆与圆的位置关系-【金版教程】2024高考文科数学一轮复习创新方案word（全国统考版）

第4讲　直线与圆、圆与圆的位置关系 1．直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系的判断 位置关系 相离 相切 相交 图形 公共点个数 0个 1个 2个 判定方法 几何法：设圆心到直线的距离d＝ d>r d＝r d<r 代数法：由 消元得到一元二次方程根的判别式Δ Δ<0 Δ＝0 Δ>0 2.圆与圆的位置关系 (1)几何法 若⊙O1，⊙O2的半径分别为r1，r2，d＝|O1O2|，则两圆的位置关系的判断方法如下： 外离 外切 相交 内切 内含 图形 d与r1，r2的关系 d>r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|<d<r1＋r2 d＝|r1－r2| d<|r1－r2| (2)代数法 通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断． 一元二次方程 判断两圆的位置关系一般用几何法． 1．圆的切线方程的常用结论 (1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2. (2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2. (3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线的方程为x0x＋y0y＝r2. 2．直线与圆的位置关系的常用结论 (1)当直线与圆相交时，弦心距(圆心到直线的距离)，半弦长及半径构成一个直角三角形． (2)弦长公式：|AB|＝ |xA－xB| ＝ . 3．圆与圆的位置关系的常用结论 (1)两圆的位置关系与公切线的条数 ①内含：0条；②内切：1条；③相交：2条；④外切：3条；⑤外离：4条． (2)两圆相交时公共弦所在直线的方程 设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，① 圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，② 若两圆相交，则有一条公共弦，其公共弦所在直线方程由①－②所得，即(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)＝0. (3)两个圆系方程 ①过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)； ②过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(其中不含圆C2，所以注意检验C2是否满足题意，以防丢解)． 1．(2023·北京西城区模拟)过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4y＝0截得的弦长为(　　) A. B．2 C． D．2 答案　D 解析　直线方程为x－y＝0，圆的标准方程为x2＋(y－2)2＝4，则圆心(0,2)到直线的距离d＝＝1，所以所求弦长为2×＝2. 2．圆Q：x2＋y2－4x＝0在点P(1，)处的切线方程为(　　) A．x＋y－2＝0 B．x＋y－4＝0 C．x－y＋4＝0 D．x－y＋2＝0 答案　D 解析　解法一：因为点P在圆上，且圆心Q的坐标为(2,0)，所以kPQ＝＝－.所以切线斜率k＝.所以切线方程为y－＝(x－1)，即x－y＋2＝0. 解法二：∵P(1，)在圆Q：(x－2)2＋y2＝4上，∴切线方程为(1－2)(x－2)＋y＝4，即x－y＋2＝0. 3．对任意的实数k，直线y＝kx－1与圆C：x2＋y2－2x－2＝0的位置关系是(　　) A．相离 B．相切 C．相交 D．以上三个选项均有可能 答案　C 解析　直线y＝kx－1恒经过点A(0，－1)，圆x2＋y2－2x－2＝0的圆心为C(1,0)，半径为，而|AC|＝<，点A在圆内，故直线y＝kx－1与圆x2＋y2－2x－2＝0相交．故选C. 4．(2023·云南丽江模拟)圆C1：(x＋2)2＋(y－2)2＝4和圆C2：(x－2)2＋(y－5)2＝16的位置关系是(　　) A．相离 B．相交 C．内切 D．外切 答案　B 解析　易得圆C1的圆心为C1(－2,2)，半径r1＝2，圆C2的圆心为C2(2,5)，半径r2＝4，圆心距|C1C2|＝＝5<2＋4＝r1＋r2，又|C1C2|>4－2，所以两圆相交． 5．圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦所在直线的方程为______________. 答案　x－y＋2＝0 解析　将两圆方程相减，得4x－4y＋8＝0，即x－y＋2＝0. 6．(2023·河北保定模拟)若P(2，－1)为圆C：(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程是________________. 答案　x－y－3＝0 解析　∵C(1,0)，∴