第九章 第3讲 圆的方程-【金版教程】2024高考文科数学一轮复习创新方案word（全国统考版）

第3讲　圆的方程 1．圆的定义、方程 (1)在平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆． (2)确定一个圆的基本要素：圆心和半径. (3)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)． (4)圆的一般方程 ①一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0； ②方程表示圆的充要条件：D2＋E2－4F>0； ③圆心坐标：， 半径r＝ . 2．点与圆的位置关系 (1)理论依据 点与圆心的距离与半径的大小关系． (2)三个结论 圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)，d为圆心到点M的距离． ①(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔点在圆上⇔d＝r； ②(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔点在圆外⇔d>r； ③(x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔点在圆内⇔d<r. 1．求圆的方程，借助圆的几何性质，能使解题思路简化，减少计算量，常用的几何性质有： (1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上； (2)圆心在任一弦的中垂线上； (3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线． 2．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径的两端点的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0(其推导过程：设圆上任一点P(x，y)，则由·＝0可得)． 1．圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝(　　) A．－ B．－ C． D．2 答案　A 解析　圆的方程可化为(x－1)2＋(y－4)2＝4，则圆心坐标为(1,4)，圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为＝1，解得a＝－.故选A. 2．若坐标原点在圆(x－m)2＋(y＋m)2＝4的内部，则实数m的取值范围是(　　) A．(－1,1) B．(－，) C．(－，) D． 答案　C 解析　∵坐标原点(0,0)在圆(x－m)2＋(y＋m)2＝4的内部，∴(0－m)2＋(0＋m)2<4，解得－<m<.故选C. 3．若方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，－2) B． C．(－2,0) D． 答案　D 解析　由方程表示圆，可得a2＋(2a)2－4(2a2＋a－1)>0，化简得3a2＋4a－4<0，解得－2<a<. 4．圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x＋4y＋4＝0与圆C相切，则圆C的方程为(　　) A．x2＋y2－2x－3＝0 B．x2＋y2＋4x＝0 C．x2＋y2－4x＝0 D．x2＋y2＋2x－3＝0 答案　C 解析　由题意设圆C的方程为(x－m)2＋y2＝4(m>0)，则＝2，解得m＝2或m＝－(舍去)，故圆C的方程为(x－2)2＋y2＝4，即x2＋y2－4x＝0.故选C. 5．已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 答案　A 解析　设圆心为C(x，y)，则＝1，化简得(x－3)2＋(y－4)2＝1，所以圆心C的轨迹是以M(3,4)为圆心，1为半径的圆，如图． 所以|OC|＋1≥|OM|＝＝5，所以|OC|≥5－1＝4，当且仅当C在线段OM上时取得等号．故选A. 6．(2022·全国乙卷)过四点(0,0)，(4,0)，(－1,1)，(4,2)中的三点的一个圆的方程为________. 答案　(x－2)2＋(y－3)2＝13或(x－2)2＋(y－1)2＝5或2＋2＝或2＋(y－1)2＝(写出其中一个即可) 解析　依题意，设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，若过(0,0)，(4,0)，(－1,1)，则解得所以圆的方程为x2＋y2－4x－6y＝0，即(x－2)2＋(y－3)2＝13；若过(0,0)，(4,0)，(4,2)， 则解得所以圆的方程为x2＋y2－4x－2y＝0，即(x－2)2＋(y－1)2＝5；若过(0,0)，(－1,1)，(4,2)，则解得所以圆的方程为x2＋y2－x－y＝0，即2＋2＝；若过(－1,1)，(4,0)，(4,2)，则解得所以圆的方程为x2＋y2－x－2y－＝0，即2＋(y－1)2＝. 考向一　求圆的方程 例1　(1)(2023·四川成都模拟)圆心在y轴上且通过点(3,1)的圆与x轴相切，则该圆的方程是(　　) A．x2＋y2＋10y＝0 B．x2＋y2－10y＝0 C．x2＋y2＋10x＝0 D．x2＋y2－10x＝0 答案　B 解析　设圆心为(0，b)，半径为r，则r＝|b|，∴圆的方程为x2＋(y－b)2＝b2.∵点(3,1)在圆上，∴9＋(1－b)2＝b2，解得b＝5.∴圆的方程为x2＋y2－10y＝0. (2)(2022·山西大同模拟)已知圆M与直线3x－4y＝0及3x－4y＋10＝0都相切，圆心在直线y＝－x－4上