第九章 第2讲 两条直线的位置关系-【金版教程】2024高考文科数学一轮复习创新方案word（全国统考版）

第2讲　两条直线的位置关系 1．两条直线的位置关系 (1)两条直线平行与垂直 ①两条直线平行 (ⅰ)对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2. (ⅱ)当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2. ②两条直线垂直 (ⅰ)如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔k1k2＝－1. (ⅱ)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2. (2)两条直线的交点 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1与l2的交点坐标就是方程组的解． 2．三种距离 (1)两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离|P1P2|＝ . (2)点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝. (3)两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0(其中C1≠C2)间的距离d＝. 1．三种常见的直线系方程 (1)平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程：Ax＋By＋C0＝0(C≠C0)． (2)垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程：Bx－Ay＋C0＝0. (3)过两条已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R，这个直线系不包括直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0，解题时，注意检验l2是否满足题意，以防漏解)． 2．四种常见的对称 (1)点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)． (2)点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x,2b－y)． (3)点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x,2b－y)． (4)点(x，y)关于直线x＋y＝k的对称点为(k－y，k－x)，关于直线x－y＝k的对称点为(k＋y，x－k)． 3．点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件 (1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式． (2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等． 1．(2023·甘肃庆阳模拟)点A(2,5)到直线l：x－2y＋3＝0的距离为(　　) A．2 B． C． D． 答案　C 解析　点A(2,5)到直线l：x－2y＋3＝0的距离为d＝＝.故选C. 2．过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是(　　) A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0 C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0 答案　A 解析　因为所求直线与直线x－2y－2＝0平行，所以设直线方程为x－2y＋c＝0，又直线经过点(1,0)，得出c＝－1，故所求直线方程为x－2y－1＝0. 3．设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　A 解析　若两直线平行，则a(a＋1)＝2，即a2＋a－2＝0，解得a＝1或－2，经检验，均符合条件，故a＝1是两直线平行的充分不必要条件． 4．直线ax＋4y－2＝0与直线2x－5y＋b＝0垂直，垂足为(1，c)，则a＋b＋c＝(　　) A．－2 B．－4 C．－6 D．－8 答案　B 解析　由题意可得，－×＝－1，a＋4c－2＝0，2－5c＋b＝0，解得a＝10，c＝－2，b＝－12.所以a＋b＋c＝－4.故选B. 5．点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)距离的最大值为(　　) A．1 B． C． D．2 答案　B 解析　由y＝k(x＋1)可知直线过定点P(－1,0)，设A(0，－1)，当直线y＝k(x＋1)与AP垂直时，点A到直线y＝k(x＋1)的距离最大，即为|AP|＝.故选B. 6．(2023·云南师大附中模拟)已知倾斜角为α的直线l与直线m：x－2y＋3＝0垂直，则cos2α＝________. 答案　－ 解析　直线m：x－2y＋3＝0的斜率是，∵l⊥m，∴直线l的斜率是－2，故tanα＝－2，∴<α<π，∴cosα＝－，∴cos2α＝2cos2α－1＝2×2－1＝－. 考向一　两条直线的平行与垂直 例1　(1)过两条直线2x＋y－8＝0和x－2y＋1＝0的交点，且平行于直线4x－3y－7＝0的直线方程为(　　) A．4x－3y＋6＝0 B．4x－3y－6＝0 C．3x－4y＋6＝0 D．3x－4y－6＝0 答案　B 解析　由方程组解得即交点坐标为(3,2)．又所求直线与直线4x－3y－7＝0平行，所以所求直线的斜率为，故所求直线的方程为y－2＝(x－3)，即4x－3y－6＝0.故选