第九章 第1讲 直线的倾斜角与斜率、直线的方程-【金版教程】2024高考文科数学一轮复习创新方案word（全国统考版）

第1讲　直线的倾斜角与斜率、直线的方程 1．直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角 ①定义：x轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角．当直线与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. ②倾斜角的范围为0°≤α<180°. (2)直线的斜率 条件 公式 直线的倾斜角为θ，且θ≠90° k＝tanθ 直线过点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1≠x2 k＝ 2.直线方程的五种形式 名称 条件 方程 适用范围 点斜式 斜率k与点(x1，y1) y－y1＝k(x－x1) 不含直线x＝x1 斜截式 斜率k与直线在y轴上的截距b y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线 两点式 两点(x1，y1)，(x2，y2) ＝ 不含直线x＝x1(x1＝x2)和直线y＝y1(y1＝y2) 截距式 直线在x轴、y轴上的截距分别为a，b ＋＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0) 平面直角坐标系内的直线都适用 1．特殊直线的方程 (1)过点P1(x1，y1)且垂直于x轴的直线方程为x＝x1. (2)过点P1(x1，y1)且垂直于y轴的直线方程为y＝y1. (3)y轴的方程为x＝0. (4)x轴的方程为y＝0. 2．直线的斜率k与倾斜角θ之间的关系 θ 0° 0°<θ<90° 90° 90°<θ<180° k 0 (0，＋∞) 不存在 (－∞，0) 牢记口诀： “斜率变化分两段，90°是分界线； 遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”． 3．“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．应注意过原点的特殊情况是否满足题意． 1．已知直线过A(2,4)，B(1，m)两点，且倾斜角为45°，则m＝(　　) A．3 B．－3 C．5 D．－1 答案　A 解析　∵直线过A(2,4)，B(1，m)两点，∴直线的斜率为＝4－m.又直线的倾斜角为45°，∴直线的斜率为1，即4－m＝1，∴m＝3.故选A. 2．直线x＋y＋1＝0的倾斜角是(　　) A. B． C． D． 答案　D 解析　由直线的方程得直线的斜率k＝－，设倾斜角为α，则tanα＝－，又α∈[0，π)，所以α＝. 3．(2023·四川达州模拟)已知直线l的斜率为，在y轴上的截距为另一条直线x－2y－4＝0的斜率的倒数，则直线l的方程为(　　) A．y＝x＋2 B．y＝x－2 C．y＝x＋ D．y＝－x＋2 答案　A 解析　∵直线x－2y－4＝0的斜率为，∴直线l在y轴上的截距为2.∴直线l的方程为y＝x＋2. 4．过点(5,2)且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍的直线方程是(　　) A．2x＋y－12＝0 B．2x＋y－12＝0或2x－5y＝0 C．x－2y－1＝0 D．x－2y－1＝0或2x－5y＝0 答案　B 解析　设所求直线在x轴上的截距为a，则在y轴上的截距为2a.①当a＝0时，所求直线经过点(5,2)和(0,0)，所以直线方程为y＝x，即2x－5y＝0；②当a≠0时，设所求直线方程为＋＝1，又直线过点(5,2)，所以＋＝1，解得a＝6，所以所求直线方程为＋＝1，即2x＋y－12＝0.综上，所求直线方程为2x－5y＝0或2x＋y－12＝0.故选B. 5．(2023·甘肃天水模拟)在同一平面直角坐标系中，直线l1：ax＋y＋b＝0和直线l2：bx＋y＋a＝0的图象有可能是(　　) 答案　B 解析　当a>0，b>0时，－a<0，－b<0，B项符合． 6．直线l与直线y＝1，直线x－y－7＝0分别交于点P，Q，线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率是(　　) A. B． C．－ D．－ 答案　C 解析　设P(a,1)，Q(b，b－7)，由线段PQ的中点坐标为(1，－1)可得解得所以P(－2，1)，Q(4，－3)，所以直线l的斜率k＝＝－.故选C. 考向一　直线的倾斜角与斜率 例1　(1)(2023·鸡西一中模拟)直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是(　　) A. B． C.∪ D．∪ 答案　B 解析　依题意，直线的斜率k＝－∈[－1，0)，因此其倾斜角的取值范围是. (2)(2023·安阳模拟)已知点A(1,3)，B(－2，－1)．若直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB恒相交，则k的取值范围是(　　) A. B．(－∞，－2] C．(－∞，－2]∪ D. 答案　D 解析　直线l：y＝k(x－2)＋1经过定点P(2,1)，∵kPA＝＝－2，kPB＝＝，又直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB恒相交，∴－2≤k≤. 　　直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区