第二章 第9讲 函数模型及其应用-【金版教程】2024高考文科数学一轮复习创新方案word（全国统考版）

第9讲　函数模型及其应用 1．常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 二次函数型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 指数函数型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 对数函数型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 幂函数型 f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0) 2．指数、对数及幂函数三种增长型函数模型的图象与性质 函数 性质 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xn(n>0) 在(0，＋∞) 上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 介于指数增长和对数增长之间 图象的变化 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 随n值变化而各有不同 值的比较 存在一个x0，当x>x0时，有logax<xn<ax 形如f(x)＝x＋(a＞0)的函数模型称为“对勾”函数模型： (1)该函数在(－∞，－]和[，＋∞)上单调递增，在[－，0)和(0，]上单调递减． (2)当x＞0时，x＝时，f(x)取最小值2； 当x＜0时，x＝－时，f(x)取最大值－2. 1．在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如下表： x 0.50 0.99 2.01 3.98 y －0.99 0.01 0.98 2.00 则对x，y最适合的拟合函数是(　　) A．y＝2x B．y＝x2－1 C．y＝2x－2 D．y＝log2x 答案　D 解析　根据x＝0.50，y＝－0.99，代入各选项计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入其余各选项计算，可以排除B，C；将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意．故选D． 2．(2022·四川泸县第二中学模拟)为进一步巩固脱贫攻坚成果，持续实施乡村振兴战略，某企业响应政府号召，积极参与帮扶活动．该企业2022年初有资金150万元，资金的年平均增长率固定，每三年政府将补贴10万元．若要实现2025年初的资金达到270万元的目标，资金的年平均增长率应为(参考值：≈1.22，≈1.2)(　　) A．10% B．20% C．22% D．32% 答案　B 解析　由题意，设年平均增长率为x，则150(1＋x)3＋10＝270，所以x＝ －1≈1.2－1＝0.2，故年平均增长率为20%.故选B． 3. (2023·广东广州综合检测)如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T.若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为t，则函数h＝f(t)的图象大致是(　　) 答案　B 解析　水位由高变低，排除C，D．半缸前下降速度先快后慢，半缸后下降速度先慢后快，故选B． 4．(2023·陕西商洛模拟)声音大小(单位：dB)取决于声波通过介质时所产生的压力(简称声压，单位：N/m2)变化．已知声压x与声音大小y的关系式为y＝10×lg 2.根据我国《工业企业噪声卫生标准》规定，新建企业工作地点噪音容许标准为85 dB．若某新建企业运行时测得的声音大小为60 dB，符合《工业企业噪声卫生标准》规定，则此时声压为(　　) A．2 N/m2 B．20 N/m2 C．0.02 N/m2 D．0.2 N/m2 答案　C 解析　由题意，得10×lg 2＝60，所以lg ＝3，解得x＝0.02. 5．Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠病毒感染累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：I(t)＝，其中K为最大确诊病例数．当I(t*)＝0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为(参考数据：ln 19≈3)(　　) A．60 B．63 C．66 D．69 答案　C 解析　因为I(t)＝，所以I(t*)＝＝0.95K， 则e0.23(t*－53)＝19，所以0.23(t*－53)＝ln 19≈3， 解得t*≈＋53≈66.故选C． 6．“好酒也怕巷子深”，许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的．已知某品牌商品靠广告销售的收入R与广告费A之间满足关系R＝a(a为常数)，广告效应为D＝a－A．那么，精明的商人为了取得最大广告效应，投入的广告费应为________(用常数a表示)． 答案　a2 解析　令t＝(t≥0)，则A＝t2，∴D＝at－t2＝－2＋a2.∴当t＝a，即A＝a2时，D取得最大值. 考向一　利用函数图象刻画实际问题 例1　(2022·北京高考)在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的