第八章 第5讲 直线、平面垂直的判定及性质-【金版教程】2024高考文科数学一轮复习创新方案word（全国统考版）

第5讲　直线、平面垂直的判定及性质 1．直线与平面垂直 (1)直线与平面垂直的定义 如果一条直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直． (2)直线与平面垂直的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 (3)直线与平面垂直的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 2.平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的定义 两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． (2)平面与平面垂直的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直 (3)平面与平面垂直的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 3.直线与平面所成的角 (1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角． (2)一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0°的角． (3)线面角θ的范围：θ∈. 4．二面角的有关概念 (1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角． (2)二面角的平面角：过二面角棱上的任一点，在两个半平面内分别作与棱垂直的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角． 直线与平面垂直的五个结论 (1)若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意一条直线． (2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面． (3)垂直于同一条直线的两个平面平行． (4)过一点有且只有一条直线与已知平面垂直． (5)过一点有且只有一个平面与已知直线垂直． 1．下列命题中错误的是(　　) A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ D．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β 答案　D 解析　若α⊥β，则α内至少有一条直线垂直于平面β，而非所有直线都垂直于平面β. 2．(2023·泉州质检)已知互相垂直的平面α，β交于直线l.若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则(　　) A．m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n 答案　C 解析　∵α∩β＝l，∴l⊂β，∵n⊥β，∴n⊥l.故选C. 3．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是(　　) A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n B．若m⊥α，m∥n，n⊂β，则α⊥β C．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥β D．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n 答案　B 解析　A项，若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n或m，n相交或m，n为异面直线，故不正确；C项，若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α，β有可能相交但不垂直，故不正确；D项，若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m，n有可能是异面直线，故不正确．故选B. 4．(2023·四川成都模拟)若a，b，c是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则a⊥b的一个充分不必要条件是(　　) A．a⊥c，b⊥c B．α⊥β，a⊂α，b⊂β C．a⊥α，b∥α D．a⊥α，b⊥α 答案　C 解析　对于A，B，直线a，b可能是平行直线，相交直线，也可能是异面直线；对于C，在平面α内存在c∥b，因为a⊥α，所以a⊥c，故a⊥b；对于D，一定能推出a∥b.故选C. 5.如图，在四面体ABCD中，已知AB⊥AC，BD⊥AC，那么D在平面ABC内的射影H必在(　　) A．直线AB上 B．直线BC上 C．直线AC上 D．△ABC内部 答案　A 解析　由AB⊥AC，BD⊥AC，AB∩BD＝B，则AC⊥平面ABD，而AC⊂平面ABC，则平面ABC⊥平面ABD，因此D在平面ABC内的射影H必在平面ABC与平面ABD的交线AB上．故选A. 6．(2023·齐齐哈尔模拟)已知P为△ABC所在平面外一点，且PA，PB，PC两两垂直，给出下列命题： ①PA⊥BC；②PB⊥AC；③PC⊥AB；④AB⊥BC. 其中正确命题的个数是________. 答案　3 解析　如图所示．∵PA⊥PC，PA⊥PB，PC∩PB＝P，∴PA⊥平面PBC.又BC⊂平面PBC，∴PA⊥BC.同理可得PB⊥AC，PC⊥AB.但AB不一定垂直于BC. 考向一　有关垂直关系的判断 例1　(1)(2023·内蒙古通辽模拟)已知l，m是两条不同的直线，α是平面，l⊄α