第八章 第3讲 空间点、直线、平面之间的位置关系-【金版教程】2024高考文科数学一轮复习创新方案word（全国统考版）

第3讲　空间点、直线、平面之间的位置关系 1．平面的基本性质 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线就在此平面内． 公理2：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面． 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． 2．用集合语言描述点、线、面间的关系 (1)点与平面的位置关系：点A在平面α内记作A∈α，点A不在平面α内记作A∉α. (2)点与直线的位置关系：点A在直线l上记作A∈l，点A不在直线l上，记作A∉l. (3)线面的位置关系：直线l在平面α内记作l⊂α，直线l不在平面α内记作l⊄α. (4)平面α与平面β相交于直线a，记作α∩β＝a. (5)直线l与平面α相交于点A，记作l∩α＝A. (6)直线a与直线b相交于点A，记作a∩b＝A. 3．直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类 (2)空间平行线的传递性 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行. (3)定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. (4)异面直线所成的角 ①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)． ②范围：. 4．空间直线与平面、平面与平面之间的位置关系 位置关系 图形语言 符号语言 公共点 直线与平面 相交 a∩α＝A 1个 平行 a∥α 0个 在平面内 a⊂α 无数个 平面与平面 平行 α∥β 0个 相交 α∩β＝l 无数个 1．公理2的三个推论 推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面； 推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面； 推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面． 2．异面直线判定的一个方法 过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线． 1．(2022·衡水模拟)已知p：a，b为异面直线，q：直线a，b不相交，则p是q的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　A 解析　若直线a，b不相交，则a，b平行或异面，所以p是q的充分不必要条件，故选A. 2．若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是(　　) A．b⊂α B．b∥α C．b⊂α或b∥α D．b与α相交或b⊂α或b∥α 答案　D 解析　b与α相交或b⊂α或b∥α都可以． 3．设A，B，C，D是空间四个不同的点，下列命题中不正确的是(　　) A．若AC与BD共面，则AD与BC共面 B．若AC与BD是异面直线，则AD与BC是异面直线 C．若AB＝AC，DB＝DC，则AD⊥BC D．若AB＝AC，DB＝DC，则AD＝BC 答案　D 解析　对于A，若AC与BD共面，则A，B，C，D四点共面，故AD与BC共面，A正确；对于B，假设AD与BC不是异面直线，则AD与BC共面，于是AC与BD共面，这与AC与BD是异面直线矛盾，故AD与BC也是异面直线，B正确；对于C，若AB＝AC，DB＝DC，取BC的中点E，则BC⊥AE，BC⊥DE，AE∩DE＝E，故BC⊥平面ADE，AD⊂平面ADE，则AD⊥BC，C正确；对于D，若AB＝AC，DB＝DC，由上图可知，不能推出AD＝BC，D不正确． 4．(2023·吉林四平模拟)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是(　　) A．CC1与B1E是异面直线 B．C1C与AE共面 C．AE与B1C1是异面直线 D．AE与B1C1所成的角为60° 答案　C 解析　由于CC1与B1E都在平面C1B1BC内，故C1C与B1E是共面的，故A错误；由于C1C在平面C1B1BC内，而AE与平面C1B1BC相交于点E，点E不在C1C上，故C1C与AE是异面直线，故B错误；同理AE与B1C1是异面直线，故C正确；而AE与B1C1所成的角就是AE与BC所成的角，E为BC的中点，△ABC为正三角形，所以AE⊥BC，即AE与B1C1所成的角为90°，故D错误． 5．设a，b，c是空间中的三条直线，下面给出四个命题： ①若a∥b，b∥c，则a∥c； ②若a⊥b，b⊥c，则a∥c； ③若a与b相交，b与c相交，则a与c相交； ④若a⊂平面α，b⊂平面β，则a，b一定是异面直线． 其中错误的命题是________(写出所有错误命题的序号)． 答案　②③④ 解析　由公理4知①正确；当a⊥b，b⊥c时，a与c可以相交、平行或异面，故②错误；当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故③错误；a⊂α，b⊂β，并不能说明a与b不同在任何一个平面内，故