第八章 第2讲 空间几何体的表面积与体积-【金版教程】2024高考文科数学一轮复习创新方案word（全国统考版）

第2讲　空间几何体的表面积与体积 1．多面体的侧面积、表面积 因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是侧面展开图的面积，表面积是侧面积与底面面积之和． 2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图 侧面积 公式 S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝π(r1＋r2)l 3.柱、锥、台和球的表面积和体积 名称几何体 表面积 体积 柱体 (棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝S底h 锥体 (棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝S底h 台体 (棱台和圆台) S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h 球 S＝4πr2 V＝πr3 1．与体积有关的几个结论 (1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差． (2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等． 2．几个与球有关的切、接问题的常用结论 (1)正方体的棱长为a，球的半径为R， ①若球为正方体的外接球，则2R＝a； ②若球为正方体的内切球，则2R＝a； ③若球与正方体的各棱相切，则2R＝a. (2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝. (3)直棱柱的外接球半径可利用棱柱的上、下底面平行，借助球的对称性，可知球心为上、下底面外接圆圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径． (4)设正四面体的棱长为a，则它的高为a，内切球半径r＝a，外接球半径R＝a.正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1. 1．若棱长为2的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为(　　) A．12π B．24π C．36π D．144π 答案　C 解析　正方体外接球的半径等于正方体的体对角线的一半，即R＝＝3，所以这个球的表面积为S＝4πR2＝4π×32＝36π.故选C. 2．某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为(　　) A. B．4 C．3＋ D．2 答案　A 解析　根据三视图可得如图所示的几何体——正三棱锥O－ABC，其侧面为等腰直角三角形，底面为等边三角形，由三视图可得该正三棱锥的侧棱长为1，故其表面积为3××1×1＋×()2＝.故选A. 3．(2023·陇南模拟)一个正方体挖去一个多面体后，剩余几何体的三视图如图所示，其中正视图、左视图和俯视图均为边长相等的正方形，则挖去多面体与剩余几何体的体积比为(　　) A. B． C．2 D．3 答案　A 解析　将三视图还原如图所示，设正方体的棱长为a，挖去多面体为四棱锥，其体积为V1＝，剩余几何体的体积为V＝，所以V1∶V＝，故选A. 4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(　　) A. B． C． D． 答案　D 解析　几何体是半个圆柱挖去半个圆锥所形成的，如图，由题意可知几何体的体积为×π×12×2－××π×12×2＝.故选D. 5．如图，半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体的棱长为，则球的表面积和体积分别为________，________. 答案　36π　36π 解析　底面中心与C′的连线即为半径，设球的半径为R，则R2＝()2＋()2＝9.所以R＝3，所以S球＝4πR2＝36π，V球＝πR3＝36π. 6．如图所示，已知球O的球面上有四点A，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC＝，则球O的体积为________. 答案　 解析　由题意知，DC边的中点就是球心O，∴球的半径R＝CD，又AB＝BC＝，∴AC＝，∴CD＝＝3，∴R＝，∴V球O＝π×3＝. 考向一　几何体的表面积 例1　(1)(2022·四川宜宾模拟)棱长为2的正四面体的表面积是(　　) A. B．2 C．3 D．4 答案　D 解析　棱长为2的正四面体的表面积是四个边长为2的正三角形面积之和，所以表面积为S＝4××2×＝4.故选D. (2)(2023·安徽合肥模拟)已知圆台的上、下底面半径分别是10 cm和20 cm，它的侧面展开图的扇环的圆心角是180°，则圆台的表面积是(　　) A．1000π cm2 B．1100π cm2 C．1200π cm2 D．1300π cm2 答案　B 解析　如图所示，设圆台的上底周长为C，因为扇环的圆心角是180°，所以C＝π·SA.又C＝2π×10＝20π，所以SA＝20(cm)．同理SB＝40(cm)．所以AB＝SB－SA＝20(cm)．所以圆台的表面积S表＝S侧＋S上底＋S下底＝π×(10＋20)×20＋π×102＋π×202＝1100π(cm2)．故选B. (3)如图是某个几何体的三视图，则这个几何体的表面积是(　　) A．π＋4＋4 B．2π＋4＋4 C．2π＋4＋2