选修4-5 第2讲 不等式的证明-【金版教程】2024高考文科数学一轮复习创新方案word（全国统考版）

第2讲　不等式的证明 1．比较法 比较法是证明不等式最基本的方法，可分为作差比较法和作商比较法两种． 名称 作差比较法 作商比较法 理论 依据 a>b⇔a－b>0 a<b⇔a－b<0 a＝b⇔a－b＝0 b>0，>1⇒a>b b<0，>1⇒a<b 2.综合法 综合法又叫顺推证法或由因导果法． 3．分析法 分析法是一种执果索因的思考和证明方法． 4．反证法 对于那些直接证明比较困难的命题，常常用反证法证明． 5．放缩法 证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法． 6．算术—几何平均不等式 如果a1，a2，…，an为n个正数，则≥ ，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立． 7．柯西不等式 (1)二维形式的柯西不等式 定理1：若a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时，等号成立． (2)柯西不等式的向量形式 定理2：设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α||β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立． 1．作差比较法适用的主要题型是多项式、分式、对数式、三角式，作商比较法适用的主要题型是高次幂乘积结构． 2．如果已知条件与待证明的结论直接联系不明显，可考虑用分析法；如果待证的命题以“至少”“至多”等方式给出或为否定性命题、唯一性命题，则考虑用反证法． 3．在用放缩法证明不等式时，“放”和“缩”均有一个度，“放”和“缩”的方向与量的大小是由题目分析得出的，常见的放缩变换有： (1)变换分式的分子和分母，如<，>，<，>，上面不等式中k∈N*，k>1； (2)利用函数的单调性； (3)真分数的性质：若0<a<b，m>0，则<. 1．若a，b均为正数，求证：aabb≥abba. 证明　由a，b均为正数，则要证aabb≥abba， 只要证aa－bbb－a≥1，整理得a－b≥1. 当a≥b>0时，≥1，a－b≥0，可得a－b≥1； 当0<a<b时，0<<1，a－b<0，可得a－b>1. 可知a，b均为正数时，a－b≥1， 当且仅当a＝b时等号成立，从而aabb≥abba成立． 2．(2023·包头模拟)已知x，y，z为三角形的三边长，求证：1<＋＋<3. 证明　∵x，y，z为三角形的三边长， ∴y＋z>x，x＋y>z，x＋z>y， ∴<，<，<， ∴＋＋<3， 又＋＋>＋＋＝1， ∴1<＋＋<3. 考向一　比较法证明不等式 例1　(2022·陕西榆林三模)已知函数f(x)＝|x－3|. (1)解不等式f(2x＋4)≥4； (2)若a，b∈R，|a|<1，|b|<1，求证：f(ab＋2)>f(a－b＋3)． 解　(1)由f(2x＋4)≥4，得|2x＋1|≥4， 即2x＋1≥4或2x＋1≤－4， 解得x≥或x≤－， 综上所述，不等式的解集为 . (2)证明：由f(ab＋2)>f(a－b＋3)，得|ab－1|>|a－b|， 因为|a|<1，|b|<1，所以a2<1，b2<1， 所以|ab－1|2－|a－b|2＝a2b2－2ab＋1－a2＋2ab－b2＝a2b2－a2－b2＋1＝(a2－1)(b2－1)>0， 所以|ab－1|2>|a－b|2， 则|ab－1|>|a－b|， 则f(ab＋2)>f(a－b＋3)． 　　比较法证明不等式的一般步骤 作差—变形—判断—结论．为了判断作差后的符号，有时要把这个差变形为一个常数，或者变形为一个常数与一个或几个平方和的形式，也可变形为几个因式的积的形式，以判断其正负．常用的变形技巧有因式分解、配方、拆项、拼项等方法． 　1.已知函数f(x)＝|2x＋1|＋|x－2|，集合A＝{x|f(x)<3}． (1)求A； (2)若s，t∈A，求证：|1－|<|t－|. 解　(1)不等式f(x)<3等价于|2x＋1|＋|x－2|<3.　(*) 设函数g(x)＝|2x＋1|＋|x－2|－3， 则g(x)＝其图象如图所示． 从图象可知，当且仅当x∈时，g(x)<0. 所以不等式(*)的解集为. 所以A＝. (2)证明：因为s，t∈A，由(1)知s，t∈， 所以s2<1，t2<1. 因为2－2＝1＋－t2－＝(1－t2)(s2－1)<0， 所以2<2， 所以|1－|<|t－|. 考向二　综合法证明不等式 例2　(2022·江西赣州二模)不等式a＋b＋c≥|x＋1|－|x＋2|对于x∈R恒成立． 求证：(1)a2＋b2＋c2≥； (2) ＋ ＋ ≥. 证明　(1)因为a＋b＋c≥|x＋1|－|x＋2|对于x∈R恒成立， 又因为|x＋1|－|x＋2|≤|(x＋1)－(x＋2)|＝1， 所以a＋b＋c≥1， 由基本不等式可得a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2