选修4-4 第2讲 参数方程-【金版教程】2024高考文科数学一轮复习创新方案word（全国统考版）

第2讲　参数方程 1．参数方程的概念 在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数(*)，并且对于t的每一个允许值，由方程组(*)所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么方程组(*)就叫做这条曲线的参数方程，变数t叫做参数． 2．直线和圆锥曲线的参数方程和普通方程 点的轨迹 普通方程 参数方程 直线 y－y0＝tanα(x－x0) (t为参数) 圆 x2＋y2＝r2 (θ为参数) (x－a)2＋(y－b)2＝r2 (θ为参数) 椭圆 ＋＝1(a>b>0) (φ为参数) 双曲线 －＝1(a>0，b>0) (φ为参数) 抛物线 y2＝2px (t为参数) 1．参数方程通过代入消元法或加减消元法消去参数化为普通方程，要注意普通方程与原参数方程的取值范围保持一致． 2．普通方程化为参数方程需要引入参数，选择的参数不同，所得的参数方程也不一样．一般地，常选择的参数有角、有向线段的数量、斜率，某一点的横坐标(或纵坐标)． 1．已知曲线S的参数方程为(θ为参数，0≤θ<2π)．点P在曲线S上，直线l过点P，且倾斜角为. (1)求点P在曲线S上对应的参数θ的值； (2)求直线l被曲线S截得的线段的长度． 解　(1)将点P代入曲线S的参数方程中，得 由于0≤θ<2π，所以θ＝. (2)曲线S的参数方程为(θ为参数，0≤θ<2π)，转换为普通方程为(x－1)2＋y2＝9， 直线l过点P，且倾斜角为， 所以直线l的方程为x－y－＝0， 由于圆心(1,0)在直线上，故直线l被曲线S截得的线段长为圆的直径6. 2．(2022·合肥市教学质量检测)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)．以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2＝4ρsinθ－3. (1)写出曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程； (2)若P，Q分别为曲线C1，C2上的动点，求|PQ|的最大值． 解　(1)由曲线C1的参数方程消去参数得， 曲线C1的普通方程为＋y2＝1. 将x2＋y2＝ρ2，y＝ρsinθ代入曲线C2的极坐标方程得，曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2＝4y－3，即x2＋(y－2)2＝1. (2)由(1)知曲线C2是以C2(0,2)为圆心，1为半径的圆． 设P点的坐标为(2cosα，sinα)， 则|PQ|≤|PC2|＋1＝＋1 ＝ ＋1， 当sinα＝－时，|PQ|max＝＋1. 考向一　参数方程与普通方程的互化 例1　(2022·全国甲卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数)，曲线C2的参数方程为(s为参数)． (1)写出C1的普通方程； (2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C3的极坐标方程为2cosθ－sinθ＝0，求C3与C1交点的直角坐标，及C3与C2交点的直角坐标． 解　(1)因为x＝，y＝，所以x＝， 即C1的普通方程为y2＝6x－2(y≥0)． (2)因为x＝－，y＝－，所以6x＝－2－y2， 即C2的普通方程为y2＝－6x－2(y≤0)， 由2cosθ－sinθ＝0⇒2ρcosθ－ρsinθ＝0，即C3的直角坐标方程为2x－y＝0. 联立解得或 即C3与C1交点的直角坐标为，(1,2)； 联立解得或即C3与C2交点的直角坐标为，(－1，－2)． 　　 (1)消去参数的方法一般有三种： ①利用解方程的技巧求出参数的表达式，然后代入消去参数； ②利用三角恒等式消去参数； ③根据参数方程本身的结构特征，灵活选用一些方法，从整体上消去参数． (2)在参数方程与普通方程的互化中，必须使两种方程中的x，y的取值范围保持一致． 　1.已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴的正半轴重合，直线l的极坐标方程为ρsin＝，曲线C的参数方程是(α是参数)． (1)求直线l的直角坐标方程及曲线C的普通方程； (2)求曲线C上的点到直线l的距离的最大值． 解　(1)因为ρsin＝， 所以ρ＝3， 即ρsinθ＋ρcosθ－3＝0， 将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入，得 直线l的直角坐标方程是x＋y－3＝0. 由得 所以曲线C的普通方程是x2＋(y－2)2＝1. (2)由(1)得，曲线C是以(0,2)为圆心，1为半径的圆， 又圆心(0,2)到直线l的距离d＝＝， 所以曲线C上的点到直线l的距离的最大值为1＋. 考向二　直线的参数方程 例2　(1)(2023·四川成都七中高三零诊模拟检测)在直角坐标系xOy中，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)，在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ2＝2ρcosθ＋8. ①求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程； ②若直线l与