高考大题专题研究一 专题研究（三） 利用导数研究函数的零点问题-【金版教程】2024高考文科数学一轮复习创新方案word（全国统考版）

专题研究(三)　利用导数研究函数的零点问题 题型一　判断、证明函数的零点或方程的根 例1　已知函数f(x)＝ex－1，g(x)＝＋x，其中e是自然对数的底数，e＝2.71828…. (1)证明：函数h(x)＝f(x)－g(x)在区间(1,2)上有零点； (2)求方程f(x)＝g(x)的根的个数，并说明理由． 解　(1)证明：由题意可得 h(x)＝f(x)－g(x)＝ex－1－－x， 所以h(1)＝e－3<0，h(2)＝e2－3－>0， 所以h(1)h(2)<0， 所以函数h(x)＝f(x)－g(x)在区间(1,2)上有零点． (2)由(1)可知h(x)＝f(x)－g(x)＝ex－1－－x，x∈[0，＋∞)， 而h(0)＝0，则x＝0为h(x)的一个零点． 又h(x)在(1,2)内有零点， 因此h(x)在[0，＋∞)上至少有两个零点． h′(x)＝ex－x－－1， 记φ(x)＝ex－x－－1， 则φ′(x)＝ex＋x－. 当x∈(0，＋∞)时，φ′(x)>0，因此φ(x)在(0，＋∞)上单调递增， 易知φ(x)在(0，＋∞)内至多有一个零点， 即h(x)在[0，＋∞)内至多有两个零点， 则h(x)在[0，＋∞)上有且只有两个零点， 所以方程f(x)＝g(x)的根的个数为2. [解题策略]　利用导数确定函数零点或方程根个数的常用方法 (1)利用零点存在定理：先用该定理判断函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值符号，进而判断函数在该区间上的零点个数． (2)构建函数g(x)(要求g′(x)易求，g′(x)＝0可解)，转化为确定g(x)的零点个数问题求解，利用导数研究该函数的单调性、极值，并确定定义域区间端点值的符号(或变化趋势)等，画出g(x)的大致图象，数形结合求解函数零点的个数． 变式训练1　(1)(2023·榆林模拟)已知函数f(x)＝ln x－x2＋ax，a∈R，若a≥1，讨论函数f(x)的零点个数． 解　f′(x)＝－2x＋a＝，x>0. 令－2x＋ax0＋1＝0，解得x0＝(负值舍去)， 在(0，x0)上，f′(x)>0，函数f(x)单调递增； 在(x0，＋∞)上，f′(x)<0，函数f(x)单调递减． 所以f(x)max＝f(x0)． 当a＝1时，x0＝1，f(x)max＝f(1)＝0， 此时函数f(x)只有一个零点x＝1. 当a>1时，f(1)＝a－1>0， f＝ln －＋<－1－＋ ＝－2－<0， f(2a)＝ln 2a－2a2<2a－1－2a2＝－22－<0. 所以函数f(x)在区间和区间(1,2a)上各有一个零点． 综上可得，当a＝1时，函数f(x)只有一个零点x＝1； 当a>1时，函数f(x)有两个零点． (2)(2022·新高考Ⅰ卷改编)已知函数f(x)＝ex－x和g(x)＝x－ln x，证明：存在直线y＝b，其与两条曲线y＝f(x)和y＝g(x)共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标x1，x2，x3满足x1＋x3＝2x2. 证明　f′(x)＝ex－1，令f′(x)＝0，得x＝0. 所以当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0. 所以函数f(x)＝ex－x在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增． g′(x)＝1－＝，令g′(x)＝0，得x＝1. 所以当x∈(0,1)时，g′(x)<0； 当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0. 所以函数g(x)＝x－ln x在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增． 设u(x)＝f(x)－g(x)＝ex－2x＋ln x(x>0)， 则u′(x)＝ex－2＋>ex－2， 当x≥1时，u′(x)>e－2>0， 所以函数u(x)在(1，＋∞)上单调递增， 因为u(1)＝e－2>0， 所以当x≥1时，u(x)≥u(1)>0恒成立， 即f(x)－g(x)>0在[1，＋∞)上恒成立， 所以函数f(x)与g(x)的图象在[1，＋∞)上无交点． 当0<x<1时，u′(x)＝ex－1＋>0， 所以u(x)在(0,1)上单调递增， 又u(1)＝e－2>0，u＝e－－2<e－－2<0，所以u(x)在(0,1)上存在唯一零点， 所以函数f(x)与函数g(x)的图象在(0,1)上存在唯一交点，设该交点为M(m，f(m))(0<m<1)， 由此可作出函数y＝f(x)和y＝g(x)的大致图象， 由图象可知，当且仅当直线y＝b经过点M(m，f(m))时， 直线y＝b与两条曲线y＝f(x)和y＝g(x)共有三个不同的交点， 因为三个交点的横坐标分别为x1，x2，x3，且x1<x2<x3， 所以f(x1)＝f(x2)＝g(x2)＝g(x3)＝b. 因为f(x)＝ex－x，g(x)＝x－ln x＝eln x