高考大题专题研究一 专题研究（二） 利用导数解决不等式恒(能)成立问题-【金版教程】2024高考文科数学一轮复习创新方案word（全国统考版）

专题研究(二)　利用导数解决不等式恒(能)成立问题 题型一　恒成立问题 角度　构造函数分类讨论法解决恒成立问题 例1　(2023·陕西西安教学质量检测)已知函数f(x)＝＋aln x(a∈R)． (1)当a＝1时，求函数f(x)的单调递减区间； (2)若不等式f(x)≥x对x∈(0,1]恒成立，求实数a的取值范围． 解　(1)当a＝1时，f(x)＝＋ln x，f′(x)＝－＋＝(x>0)． 令f′(x)<0，得x<1. 故函数f(x)的单调递减区间为(0,1)． (2)令g(x)＝f(x)－x＝aln x＋－x， 则g′(x)＝－－1＝. 令φ(x)＝－x2＋ax－1，由于φ(0)＝－1<0，φ(1)＝a－2， ①当a≤0时，φ(x)<0对x∈(0,1]恒成立，故g′(x)<0对x∈(0,1]恒成立． 故g(x)在(0,1]上单调递减，g(x)≥g(1)＝0成立； ②当0<a≤2时，Δ＝a2－4≤0，φ(x)≤0，g′(x)≤0对x∈(0,1]恒成立， 故g(x)在(0,1]上单调递减，g(x)≥g(1)＝0成立； ③当a>2时，φ(x)的对称轴为直线x＝>1，为开口向下的二次函数， 故φ(x)在(0,1]上单调递增，φ(1)>0， 故φ(x)在(0,1]内存在唯一的零点x0， 在x∈(0，x0)时，φ(x)<0，故g(x)在(0，x0)上单调递减； 在x∈(x0,1)时，φ(x)>0，故g(x)在(x0,1)上单调递增． 故当x∈(x0,1)时，g(x)<g(1)＝0. 综上所述，实数a的取值范围为(－∞，2]． 角度　分离参数法解决恒成立问题 例2　(2023·内蒙古呼和浩特模拟)已知函数f(x)＝ex＋x2＋ax＋1. (1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程； (2)当x∈(0，＋∞)时，(a＋1)ex＋ax≥f(x)＋3x恒成立，求a的取值范围． 解　(1)当a＝2时，f(x)＝ex＋x2＋2x＋1， f′(x)＝ex＋2x＋2， k＝f′(0)＝3，f(0)＝2. 所以所求切线方程为y－2＝3x，即3x－y＋2＝0. (2)由题意，知(a＋1)ex＋ax≥ex＋x2＋ax＋1＋3x在x∈(0，＋∞)时恒成立， 即a≥在x∈(0，＋∞)时恒成立． 令g(x)＝，x>0， 所以g′(x)＝－. 令g′(x)>0，得0<x<1； 令g′(x)<0，得x>1. 所以g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减． 所以g(x)max＝g(1)＝， 所以a≥， 即a的取值范围为. 角度　同构法解决恒成立问题 例3　(2023·四川宜宾诊断)已知函数f(x)＝－ax＋aln x. (1)若a＝1，求f(x)的极值点； (2)若f(x)≥0恒成立，求a的取值范围． 解　(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)， 当a＝1时，f(x)＝－x＋ln x， f′(x)＝－1＋ ＝－＝. 令g(x)＝ex－x，x∈(0，＋∞)， 则g′(x)＝ex－1>0. 所以g(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以g(x)>g(0)>0. 由f′(x)＝0，得x＝1； 由f′(x)>0，得x>1； 由f′(x)<0，得0<x<1. 所以f(x)的极小值点为1，无极大值点． (2)由f(x)≥0，得ex－ln x≥a(x－ln x)． 令t＝x－ln x，x∈(0，＋∞)，则et≥at， t′＝1－＝. 由t′＝0，得x＝1； 由t′>0，得x>1； 由t′<0，得0<x<1. 所以当x＝1时，tmin＝1，所以t∈[1，＋∞)． 所以a≤，令m(t)＝，t∈[1，＋∞)， 则m′(t)＝≥0. 所以m(t)min＝m(1)＝e. 所以a的取值范围为(－∞，e]． [解题策略]　解不等式恒成立问题的方法 (1)构造函数分类讨论法：遇到f(x)≥g(x)型的不等式恒成立问题时，一般构造函数h(x)＝f(x)－g(x)或函数u(x)＝g(x)－f(x)，进而只需满足h(x)min≥0或u(x)max≤0，转化为求解函数最值的问题，但是往往需要对参数进行分类讨论． (2)分离参数法：分离参数法的主要思想是将不等式变形成一个一端是参数a，另一端是变量表达式v(x)的不等式后，若a≥v(x)在x∈D上恒成立，则a≥v(x)max；若a≤v(x)在x∈D上恒成立，则a≤v(x)min. (3)同构法：在不等式恒成立求参数的取值范围问题中，如果不等式中同时含有ex和ln x两种形式的函数，可以考虑将不等式进行合理转化、变形、拼凑，将不等式两边转化为同一个函数的两个函数值的形式，然后借助该函数的单调性转化为一个更为简单的不等式恒成立问题，从而解决问题，这种解题方法通常称为“同构”，同构的三种基本模式如下： ①积型：aea≤bln