高考大题专题研究五 专题研究（一） 最值、范围问题-【金版教程】2024高考文科数学一轮复习创新方案word（全国统考版）

命题动向：从近五年的高考试题来看，圆锥曲线问题在高考中属于必考内容，并且常常在同一份试卷上多题型考查．对圆锥曲线的考查在解答题部分主要体现以下考法：第一问一般是先求圆锥曲线的方程或离心率等较基础的知识；第二问往往涉及定点、定值、最值、取值范围等探究性问题，解决此类问题的关键是通过联立方程来解决. 专题研究(一)　最值、范围问题 题型一　最值问题 例1　已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点M(2,3)，点A为其左顶点，且AM的斜率为. (1)求C的方程； (2)点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值． 解　(1)由题意可知直线AM的方程为y－3＝(x－2)， 即x－2y＝－4. 当y＝0时，解得x＝－4，所以a＝4， 由椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点M(2,3)， 可得＋＝1，解得b2＝12. 所以C的方程为＋＝1. (2)设与直线AM平行的直线方程为x－2y＝m， 如图所示，当直线与椭圆相切时，与直线AM距离比较远的直线与椭圆的切点为N，此时△AMN的面积取得最大值． 联立直线方程x－2y＝m与椭圆方程＋＝1， 可得3(m＋2y)2＋4y2＝48， 化简可得16y2＋12my＋3m2－48＝0， 所以Δ＝144m2－4×16(3m2－48)＝0， 即m2＝64，解得m＝±8， 与直线AM距离比较远的直线方程为x－2y＝8， 直线AM的方程为x－2y＝－4， 点N到直线AM的距离即两平行线之间的距离， 利用两平行线之间的距离公式可得d＝＝， 由两点之间的距离公式可得 |AM|＝ ＝3. 所以△AMN的面积的最大值为×3×＝18. [解题策略]　处理圆锥曲线最值问题的求解方法 圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解． 变式训练1　如图，已知点F(1，0)为抛物线y2＝2px(p>0)的焦点．过点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线上，使得△ABC的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F的右侧．记△AFG，△CQG的面积分别为S1，S2. (1)求p的值及抛物线的准线方程； (2)求的最小值及此时点G的坐标． 解　(1)由题意得＝1，即p＝2. 所以抛物线的准线方程为x＝－1. (2)抛物线的方程为y2＝4x.设A(xA，yA)，B(xB，yB)，C(xC，yC)，重心G(xG，yG)． 令yA＝2t，t≠0，则xA＝t2. 由于直线AB过F， 故直线AB的方程为x＝y＋1， 代入y2＝4x，得y2－y－4＝0， 故2tyB＝－4，即yB＝－，所以B. 又xG＝(xA＋xB＋xC)，yG＝(yA＋yB＋yC)，重心G在x轴上，所以2t－＋yC＝0， 得C，G. 所以直线AC的方程为y－2t＝2t(x－t2)， 得Q(t2－1,0)． 由于Q在焦点F的右侧，故t2>2. 从而＝＝ ＝＝2－. 令m＝t2－2，则m>0， ＝2－＝2－≥2－＝1＋， 当且仅当m＝时，等号成立． 所以的最小值为1＋，此时G(2,0)． 题型二　范围问题 例2　(2023·河北唐山模拟)已知圆O：x2＋y2＝4，点M是圆O上任意一点，M在x轴上的射影为N，点P满足＝，记点P的轨迹为E. (1)求曲线E的方程； (2)已知F(1,0)，过F的直线m与曲线E交于A，B两点，过F且与m垂直的直线n与圆O交于C，D两点，求|AB|＋|CD|的取值范围． 解　(1)设点P(x，y)，则N(x,0)， 由＝，得M， 由点M在圆O上，所以x2＋2＝4， 整理得＋＝1， 所以曲线E的方程是＋＝1. (2)当直线m的斜率为0时，|AB|＝4，|CD|＝2，|AB|＋|CD|＝4＋2； 当直线m的斜率不存在时，|AB|＝3，|CD|＝4，|AB|＋|CD|＝7， 当直线m的斜率存在且不为0时，设直线m：y＝k(x－1)，则直线n：y＝－(x－1)． 点O到直线n的距离d＝， 所以|CD|＝2＝2， 将y＝k(x－1)代入曲线E的方程＋＝1，整理，得(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1＋x2＝，x1x2＝， 则|AB|＝|x1－x2|＝， 所以|AB|＋|CD|＝＋2， 令t＝ ＝ ∈(，2)， 则|AB|＋|CD|＝＋2t，t∈(，2)． 令f(t)＝＋2t，t∈(，2)， 则f′(t)＝2－<0， 所以f(t)在(，2)上单调递减， 所以f(t)∈(7,4＋2)，即|AB|＋|CD|∈(7,4＋2)． 综上所述，|AB|＋|CD|的取值范围是[7,4＋2