高考大题专题研究五 专题研究（三） 证明与存在性问题-【金版教程】2024高考文科数学一轮复习创新方案word（全国统考版）

专题研究(三)　证明与存在性问题 题型一　证明问题 例1　(2023·陕西西安模拟)已知椭圆＋＝1(a>b>0)过点(2，)，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)过点P(0,1)作椭圆的两条弦AB，CD(A，C分别位于第一、二象限)．若AD，BC与直线y＝1分别交于点M，N，求证：|PM|＝|PN|. 解　(1)∵椭圆＋＝1过点(2，)， 则＋＝1， 又＝，则c2＝.又a2＝b2＋c2， ∴联立上述式子，解得a2＝8，b2＝4， 故椭圆的方程为＋＝1. (2)证明：由题意知两直线的斜率存在，可设直线AB：y＝k1x＋1，CD：y＝k2x＋1， A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，点M，N的横坐标为xM，xN， 将直线AB的方程代入椭圆方程＋＝1，整理得(1＋2k)x2＋4k1x－6＝0，Δ＝64k＋24>0， x1＋x2＝－，x1x2＝－， 同理得，x3＋x4＝－，x3x4＝－， ∵＝(xM－x1,1－y1)，＝(xM－x4,1－y4)，且A，M，D三点共线， ∴(xM－x1)(1－y4)－(xM－x4)(1－y1)＝0， 将y1－1＝k1x1，y4－1＝k2x4代入并整理可得(k2x4－k1x1)xM＝(k2－k1)x1x4， 又y1≠y4，即k2x4－k1x1≠0， ∴xM＝，同理，xN＝， ∴xM＋xN＝＋ ＝ ＝ ＝0， ∴xM＝－xN，|xM|＝|xN|， 故|PM|＝|PN|. [解题策略]　圆锥曲线中的证明问题涉及证明的范围比较广，但无论证明什么，其常用方法有直接法和转化法，对于转化法，先是对已知条件进行化简，根据化简后的情况，将证明的问题转化为另一问题． 变式训练1　(2023·甘肃平凉模拟)已知抛物线C的焦点F在x轴上，过F且垂直于x轴的直线交C于A(点A在第一象限)，B两点，且|AB|＝4. (1)求抛物线C的标准方程； (2)已知l为C的准线，过F的直线l1交C于M，N(M，N异于A，B)两点，证明：直线AM，BN和l相交于一点． 解　(1)设抛物线C的标准方程为y2＝2px(p>0)，则F. 将x＝代入y2＝2px，得|y|＝p. 所以2p＝4，则p＝2. 所以抛物线C的标准方程为y2＝4x. (2)证明：由(1)可知A(1,2)，B(1，－2)， 设直线l1的方程为x＝my＋1(m≠0)， 联立则y2－4my－4＝0. 显然Δ>0， 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4. 直线AM的方程为y＝(x－1)＋2， 即y＝(x－1)＋2. 令x＝－1，解得y＝. 直线BN的方程为y＝(x－1)－2， 即y＝(x－1)－2. 令x＝－1，解得y＝. 因为＝－ ＝－＝1， 所以直线AM，BN和l相交于一点． 题型二　存在性问题 例2　已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦点F1的坐标为(－c,0)，F2的坐标为(c,0)，且经过点P，PF2⊥x轴． (1)求椭圆C的方程； (2)设过F1的直线l与椭圆C交于A，B两个不同点，在椭圆C上是否存在一点M，使四边形AMBF2为平行四边形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由． 解　(1)由题知c＝1，＝， 又a2＝b2＋c2，∴a＝2，b＝. ∴椭圆C的方程为＋＝1. (2)假设存在点M(x0，y0)， 当直线l的斜率不存在时， |F1M|＝|F1F2|，即a－c＝2c，不成立； 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x＋1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)． 联立 消去y得(3＋4k2)x2＋8k2x＋4k2－12＝0， ∵Δ＝144(k2＋1)>0， ∴x1＋x2＝－， ∴y1＋y2＝k(x1＋x2＋2)＝， 则AB的中点坐标为. AB的中点与MF2的中点重合， ∴∴ 代入椭圆的方程＋＝1，化简得80k4＋24k2－27＝0，解得k2＝，即k＝±. ∴存在点M使四边形AMBF2为平行四边形， 直线l的方程为y＝±(x＋1)． [解题策略]　存在性问题的解题策略 存在性问题，一般先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在． (1)当条件和结论不唯一时要分类讨论． (2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件． (3)当要讨论的量能够确定时，可先确定，再证明结论符合题意． 变式训练2　(2023·辽宁沈阳模拟)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，M(－2，y0)是C上一点，且|MF|＝2. (1)求抛物线C的方程； (2)过点F的直线与抛物线C相交于A，B两点，分别过点A，B作抛物线C的切线l1，l2，两条切线相交于点P，点P关于直线AB的对称点为Q，判断四边形PAQB是否存在外接圆？如果存在，求出外接圆面积的最