高考大题专题研究五 专题研究（二） 定点、定值问题-【金版教程】2024高考文科数学一轮复习创新方案word（全国统考版）

专题研究(二)　定点、定值问题 题型一　定点问题 例1　(2022·全国乙卷)已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过A(0，－2)，B两点． (1)求E的方程； (2)设过点P(1，－2)的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足＝，证明：直线HN过定点． 解　(1)设E的方程为＋＝1，将A(0，－2)，B两点代入， 得解得 故E的方程为＋＝1. (2)证明：由A(0，－2)，B可得直线AB：y＝x－2. ①若过点P(1，－2)的直线的斜率不存在，直线方程为x＝1. 代入＋＝1，可得M，N，将y＝－代入直线AB：y＝x－2，可得T，由＝，得H. 易求得此时直线HN：y＝x－2，过点(0，－2)． ②若过点P(1，－2)的直线的斜率存在，设为y＝kx－(k＋2)，M(x1，y1)，N(x2，y2)． 联立 得(3k2＋4)x2－6k(k＋2)x＋3k(k＋4)＝0， Δ＝36k2(k＋2)2－12k(k＋4)(3k2＋4)＝96(k2－2k)>0⇒k<0或k>2， 故有 且x1y2＋x2y1＝，(*) 联立可得T，H(3y1＋6－x1，y1)， 可求得此时直线HN： y－y2＝(x－x2)， 将(0，－2)代入，整理得2(x1＋x2)－6(y1＋y2)＋x1y2＋x2y1－3y1y2－12＝0， 将(*)式代入，得2·－6·＋－3·－12＝0，显然成立． 综上，可得直线HN过定点(0，－2)． [解题策略]　(1)求解直线或曲线过定点问题的基本思路是：把直线或曲线方程中的变量x，y当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x，y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点． (2)由直线方程确定其过定点时，若得到了直线方程的点斜式y－y0＝k(x－x0)，则直线必过定点(x0，y0)；若得到了直线方程的斜截式y＝kx＋m，则直线必过定点(0，m)． 变式训练1　已知抛物线C：x2＝－2py经过点(2，－1)． (1)求抛物线C的方程及其准线方程； (2)设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于M，N两点，直线y＝－1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点． 解　(1)由抛物线C：x2＝－2py经过点(2，－1)，得p＝2. 所以抛物线C的方程为x2＝－4y，其准线方程为y＝1. (2)证明：抛物线C的焦点为F(0，－1)． 设直线l的方程为y＝kx－1(k≠0)． 由得x2＋4kx－4＝0. 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x2＝－4. 直线OM的方程为y＝x. 令y＝－1，得点A的横坐标xA＝－， 同理得点B的横坐标xB＝－. 设点D(0，n)，则＝， ＝， ·＝＋(n＋1)2 ＝＋(n＋1)2 ＝＋(n＋1)2 ＝－4＋(n＋1)2. 令·＝0，即－4＋(n＋1)2＝0，得n＝1或n＝－3. 综上，以AB为直径的圆经过y轴上的定点(0,1)和(0，－3)． 题型二　定值问题 例2　(2023·兰州诊断)已知曲线C上的任意一点到直线l：x＝－的距离与到点F的距离相等． (1)求曲线C的方程； (2)若过P(1,0)的直线与曲线C相交于A，B两点，Q(－1，0)为定点，设直线AQ的斜率为k1，直线BQ的斜率为k2，直线AB的斜率为k，证明：＋－为定值． 解　(1)由条件可知，此曲线是焦点为F的抛物线，＝，p＝1， ∴曲线C的方程为y2＝2x. (2)证明：根据已知，直线AB的方程为y＝k(x－1)(k≠0)， 由可得ky2－2y－2k＝0. 设A，B， 则y1＋y2＝，y1y2＝－2. ∵k1＝＝，k2＝＝， ∴＋＝＋ ＝ ＝ ＝＝ ＝＝＋4. ∴＋－＝4，为定值． [解题策略]　圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略 (1)求代数式为定值．依题设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值． (2)求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得． (3)求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得． 变式训练2　已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且过点A(2,1)． (1)求椭圆C的方程； (2)点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值． 解　(1)由题意，可得 解得a2＝6，b2＝c2＝3， 故椭圆C的方程为＋＝1. (2)证明：设点M(x1，y1)，N(x2，y2)． 因为AM⊥AN，所以·＝0， 即(x1－2)(x2－2)＋(y1－1)(y2－