高考大题专题研究四 专题研究 高考中立体几何问题的热点题型-【金版教程】2024高考文科数学一轮复习创新方案word（全国统考版）

命题动向：从近五年的高考试题来看，立体几何解答题是高考的重点内容之一，每年必考，一般处在试卷第18题或者第19题的位置，主要考查空间线线、线面、面面的平行与垂直及空间几何体的体积或侧面积，试题以中档难度为主．着重考查推理论证能力和空间想象能力以及转化与化归思想，几何体以四棱柱、四棱锥、三棱柱、三棱锥等为主． 专题研究　高考中立体几何问题的热点题型 题型一　证明平行关系求体积 例1　如图所示的三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB⊥BC，AB＝，BC＝，BB1＝1，D，E，F分别为A1B1，B1C1，CC1的中点． (1)求证：平面DEF∥平面AB1C； (2)求平面DEF切割三棱柱ABC－A1B1C1所得的包含顶点C1部分的几何体的体积． 解　(1)证明：∵D，E，F分别为A1B1，B1C1，CC1的中点， ∴DE∥A1C1，EF∥B1C， 又AC∥A1C1， ∴DE∥AC，又DE⊂平面DEF，AC⊄平面DEF， ∴AC∥平面DEF， 同理可证，B1C∥平面DEF， 又AC，B1C⊂平面AB1C，AC∩B1C＝C， ∴平面DEF∥平面AB1C. (2)取棱AA1的中点G，连接GF，GD， 则DE∥GF， ∴D，E，F，G四点共面，多面体A1DG－C1EF即为所求的几何体， 连接GC1，GE，将多面体A1DG－C1EF分割为三棱锥G－EFC1和四棱锥G－A1DEC1， ∴VA1DG－C1EF＝VG－EFC1＋VG－A1DEC1＝××＋××＝. [解题策略]　在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”． 变式训练1　(2023·甘肃酒泉高三联考)在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是直角梯形，BC∥AD，AB⊥AD，AD＝4，BC＝3，点M，N分别是PC，PD上的点，且PM＝2MC，PN＝ND. (1)证明：MN∥平面PAB； (2)若平面PAD⊥平面ABCD，AB＝2，PA＝PD＝3，求三棱锥P－AMN的体积． 解　(1)证明：取PA的中点E，取PB上一点F，使得PF＝2FB，连接EF，FM，EN. 因为E，N分别是PA，PD的中点， 所以EN∥AD，EN＝AD＝2. 又PF＝2FB，PM＝2MC， 所以FM∥BC，FM＝BC＝2. 因为BC∥AD，所以FM∥EN，且FM＝EN， 所以四边形MNEF为平行四边形， 所以MN∥EF. 又因为EF⊂平面PAB，MN⊄平面PAB， 所以MN∥平面PAB. (2)作CH⊥AD交AD于点H. 又平面PAD⊥平面ABCD， 且平面PAD∩平面ABCD＝AD，CH⊂平面ABCD， 所以CH⊥平面PAD. 因为CH⊥AD，AB⊥AD，所以CH∥AB. 又AH∥BC，所以四边形ABCH为矩形， 所以CH＝AB＝2. 取AD的中点G，连接PG， 则PG⊥AD，PG＝ ＝， 所以S△PAD＝×4×＝2， 所以S△PAN＝S△PAD＝， 所以VP－AMN＝VM－PAN＝VC－PAN＝×××2＝. 题型二　证明垂直关系求体积 例2　(2022·全国乙卷)如图，四面体ABCD中，AD⊥CD，AD＝CD，∠ADB＝∠BDC，E为AC的中点． (1)证明：平面BED⊥平面ACD； (2)设AB＝BD＝2，∠ACB＝60°，点F在BD上，当△AFC的面积最小时，求三棱锥F－ABC的体积． 解　(1)证明：由于AD＝CD，E是AC的中点， 所以AC⊥DE. 由于 所以△ADB≌△CDB，所以AB＝CB，故AC⊥BE， 由于DE∩BE＝E，DE，BE⊂平面BED， 所以AC⊥平面BED， 由于AC⊂平面ACD， 所以平面BED⊥平面ACD. (2)因为AB＝BD＝BC＝2，∠ACB＝60°，所以△ABC是等边三角形， 所以AC＝2，AE＝CE＝1，BE＝. 因为AD＝CD，AD⊥CD， 所以△ACD是等腰直角三角形，所以DE＝1. 因为DE2＋BE2＝BD2，所以DE⊥BE， 又DE⊥AC，AC∩BE＝E，AC，BE⊂平面ABC， 所以DE⊥平面ABC. 由(1)知，AC⊥平面BED， 又EF⊂平面BED，所以EF⊥AC， 由于S△AFC＝AC·EF， 所以当EF最短时，△AFC的面积最小． 过E作EF⊥BD，垂足为F， 在Rt△BED中，BE·DE＝BD·EF， 解得EF＝， 所以DF＝ ＝，BF＝2－DF＝. 因为AC⊥平面BED，所以AC⊥BD， 又EF⊥BD，AC∩EF＝E，AC，EF⊂平面AFC， 所以BD⊥平面AFC， 所以VF－ABC＝VB－AFC＝S△AFC·BF＝××2××＝. [解题策略]　(1)在证明