高考大题专题研究三 专题研究 数列综合问题-【金版教程】2024高考文科数学一轮复习创新方案word（全国统考版）

命题动向：从近五年高考试题分析来看，等差、等比数列是重要的数列类型，高考考查的主要知识点有：等差、等比数列的概念、性质、前n项和公式．由于数列的渗透力很强，它和函数、方程、向量、解三角形、不等式等知识相互联系，优化组合，无形中加大了综合的力度．解决此类题目，必须对蕴藏在数列概念和方法中的数学思想有较深的理解． 专题研究　数列综合问题 题型一　等差、等比数列的综合运算 例1　(2022·陕西千阳中学高三模拟)已知{an}是公差为3的等差数列，数列{bn}满足b1＝1，b2＝，anbn＋1＋bn＋1＝nbn. (1)求数列{an}的通项公式； (2)求数列{bn}的前n项和． 解　(1)由已知，得a1b2＋b2＝b1，又b1＝1，b2＝，所以a1＝2，所以数列{an}是首项为2，公差为3的等差数列，通项公式为an＝3n－1. (2)由(1)及anbn＋1＋bn＋1＝nbn，得bn＋1＝， 因此数列{bn}是首项为1，公比为的等比数列． 记数列{bn}的前n项和为Sn， 则Sn＝＝－. [解题策略]　解决由等差数列、等比数列组成的综合问题，首先要根据两数列的概念，设出相应的基本量，然后充分使用通项公式、求和公式、数列的性质等确定基本量．解综合题的关键在于审清题目，弄懂来龙去脉，揭示问题的内在联系和隐含条件． 变式训练1　(2022·全国甲卷)记Sn为数列{an}的前n项和．已知＋n＝2an＋1. (1)证明：{an}是等差数列； (2)若a4，a7，a9成等比数列，求Sn的最小值． 解　(1)证明：因为＋n＝2an＋1， 即2Sn＋n2＝2nan＋n，① 当n≥2时，2Sn－1＋(n－1)2＝2(n－1)an－1＋(n－1)，② ①－②得，2Sn＋n2－2Sn－1－(n－1)2＝2nan＋n－2(n－1)an－1－(n－1)， 即2an＋2n－1＝2nan－2(n－1)an－1＋1， 即2(n－1)an－2(n－1)an－1＝2(n－1)， 所以an－an－1＝1，n≥2且n∈N*， 所以{an}是以1为公差的等差数列． (2)由(1)可得a4＝a1＋3，a7＝a1＋6，a9＝a1＋8， 又a4，a7，a9成等比数列，所以a＝a4a9， 即(a1＋6)2＝(a1＋3)(a1＋8)，解得a1＝－12， 所以an＝n－13，所以Sn＝－12n＋＝n2－n＝2－， 所以，当n＝12或n＝13时，(Sn)min＝－78. 题型二　数列与函数的综合 例2　已知数列{an}的前n项和为Sn，对一切正整数n，点Pn(n，Sn)都在函数f(x)＝x2＋2x的图象上，且过点Pn(n，Sn)的切线的斜率为kn. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设Q＝{x|x＝kn，n∈N*}，R＝{x|x＝2an，n∈N*}，等差数列{cn}的任一项cn∈(Q∩R)，其中c1是Q∩R中的最小数，110<c10<115，求数列{cn}的通项公式． 解　(1)因为点Pn(n，Sn)都在函数f(x)＝x2＋2x的图象上，所以Sn＝n2＋2n(n∈N*)． 所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1. 而当n＝1时，a1＝S1＝3，满足上式， 所以数列{an}的通项公式为an＝2n＋1. (2)对f(x)＝x2＋2x求导可得f′(x)＝2x＋2. 因为过点Pn(n，Sn)的切线的斜率为kn，所以kn＝2n＋2， 所以Q＝{x|x＝2n＋2，n∈N*}，R＝{x|x＝4n＋2，n∈N*}． 所以Q∩R＝R. 又因为cn∈(Q∩R)，其中c1是Q∩R中的最小数， 所以c1＝6， 则{cn}的公差是4的倍数， 所以c10＝4m＋6(m∈N*)． 又因为110<c10<115， 所以 解得m＝27，所以c10＝114. 设等差数列{cn}的公差为d，则d＝＝＝12， 所以cn＝6＋(n－1)×12＝12n－6， 所以数列{cn}的通项公式为cn＝12n－6. [解题策略]　(1)数列与函数的综合问题一般是以函数作为背景，给出数列所满足的条件．解决这类问题的关键是利用函数知识，将条件进行准确转化． (2)此类问题多考查函数思想及性质(多为单调性)，注意题中的限制条件，如定义域． 变式训练2　(2022·四川三台中学模拟)数列{an} 的前n项和为Sn,2Sn＝an＋1－2n＋1＋1，n∈N*，且a1，a2＋5,19成等差数列． (1)求a1的值； (2)证明为等比数列，并求数列{an}的通项公式； (3)设bn＝log3(an＋2n)，若对任意的n∈N*，不等式bn(1＋n)－λn(bn＋2)－6<0恒成立，试求实数λ的取值范围． 解　(1)在2Sn＝an＋1－2n＋1＋1，n∈N*中， 令n＝1，得2S1＝a2－22＋1， 即a2＝2a1＋3，① 又a1，a2＋5,1