高考大题专题研究六 专题研究 高考中概率与统计的热点题型-【金版教程】2024高考文科数学一轮复习创新方案word（全国统考版）

命题动向：统计与概率的综合是历年高考的必考内容之一，主要考查古典概型、频率分布直方图、抽样方法、数据的数字特征、统计案例等知识．命题的热点主要是概率与统计、统计案例的综合，试题多以生活中的实际问题为背景，考查学生的数据处理能力、基本运算能力、分析问题及解决问题能力． 专题研究　高考中概率与统计的热点题型 题型一　古典概型的概率计算 例1　某城市为鼓励人们绿色出行，乘坐地铁，地铁公司决定按照乘客经过地铁站的数量实施分段优惠政策，不超过9站的地铁票价如下表： 乘坐站数x(x∈N*) 0<x≤3 3<x≤6 6<x≤9 票价(元) 1 2 3 现有甲、乙两位乘客同时从起点乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过9站，且他们各自在每个站下车的可能性是相同的． (1)若甲、乙两人共付费2元，则甲、乙下车的方案共有多少种？ (2)若甲、乙两人共付费4元，求甲比乙先到达目的地的概率． 解　(1)由题意，得甲、乙两人乘坐地铁均不超过3站，前3站设为A1，B1，C1. 甲、乙两人下车方案有(A1，A1)，(A1，B1)，(A1，C1)，(B1，A1)，(B1，B1)，(B1，C1)，(C1，A1)，(C1，B1)，(C1，C1)，共9种． (2)设9站分别为A1，B1，C1，A2，B2，C2，A3，B3，C3.因为甲、乙两人共付费4元，所以可能有甲付1元，乙付3元；甲付3元，乙付1元；甲付2元，乙付2元，共三类情况． 由(1)可知每类情况中有9种方案，所以甲、乙两人共付费4元共有27种方案．而甲比乙先到达目的地的方案有(A1，A3)，(A1，B3)，(A1，C3)，(B1，A3)，(B1，B3)，(B1，C3)，(C1，A3)，(C1，B3)，(C1，C3)，(A2，B2)，(A2，C2)，(B2，C2)，共12种，故所求概率为＝.所以甲比乙先到达目的地的概率为. [解题策略]　一般来说，对古典概型的考查要先对事件中的所有元素进行设元或编号，再按照要求把所有的基本事件一一列举出来，从中找到所有满足研究事件的基本事件，最后根据古典概型的概率公式求解． 变式训练1　(2023·四川宜宾模拟)我国的高等教育中对于硕士研究生的培养，按照培养方向分类，可分为两类：一类是普通硕士，根据我国的有关规定，普通硕士教育以培养教学和科研人才为主，授予学位的类型主要是学术型学位；另一类是专业硕士，根据国务院学位委员会的定位，专业型学位为具有职业背景的学位，培养特定职业高层次专门人才．专业硕士教育的学习方式比较灵活，大致可分为在职攻读和全日制学习两类．某大学团委为了解该校大学生对未来考硕士研究生的规划，从中随机抽取容量为100的样本，其中有考硕士研究生规划的有24人(其中有考普通硕士规划的6人中，2名是男生，4名是女生)． (1)若从样本中选一位学生，那么该学生有考普通硕士规划的概率是多大？ (2)从这6名有考普通硕士规划的学生中，选出3人，求其中男生至少有一人的概率． 解　(1)样本容量为100，其中有考普通硕士规划的有6人， 故该学生有考普通硕士规划的概率为P＝＝. (2)设2名男生为A，B,4名女生为a，b，c，d， 从6人中选取3人的所有情况有20种，分别为ABa，ABb，ABc，ABd，Aab，Aac，Aad，Abc，Abd，Acd，Bab，Bac，Bad，Bbc，Bbd，Bcd，abc，abd，acd，bcd，其中男生至少有一人包含的样本点有16个，分别为ABa，ABb，ABc，ABd，Aab，Aac，Aad，Abc，Abd，Acd，Bab，Bac，Bad，Bbc，Bbd，Bcd， 所以其中男生至少有一人的概率为P＝＝. 题型二　概率与统计的综合问题 例2　某学校为了解学生的体质健康状况，对高一、高二两个年级的学生进行了体质测试．现从两个年级学生中各随机选取20人，将他们的测试数据，用茎叶图表示，如图所示，《国家学生体质健康标准》的等级标准如表．规定：测试数据≥60，体质健康为合格． 等级 优秀 良好 及格 不及格 测试数据 [90,100] [80,89] [60,79] [0,59] (1)从该校高二年级学生中随机选取一名学生，试估计这名学生体质健康合格的概率； (2)从两个年级等级为优秀的样本中各随机选取一名学生，求选取的两名学生的测试数据平均数大于95的概率． 解　(1)因为高二年级学生样本中合格的学生数为3＋4＋4＋4＝15，所以样本中学生体质健康合格的频率为＝.即从该校高二年级学生中随机选取一名学生，估计这名学生体质健康合格的概率为. (2)设等级为优秀的样本中高一年级测试数据是93,94,96的学生分别为a1，a2，a3，高二年级测试数据是90,95,98的学生分别为b1，b2，b3.选取的两名学生构成