高考大题专题研究二 专题研究 三角函数的综合问题-【金版教程】2024高考文科数学一轮复习创新方案word（全国统考版）

命题动向：三角函数不仅是数学的重要基础知识，同时也是解决其他问题的一种数学工具．高考命题者常在三角函数、解三角形和平面向量、数列等知识的交汇处命题．对三角函数与平面向量的考查，多以解答题的形式出现，难度中等．备考中注意与平面向量的加法、减法的几何意义，平行、垂直的条件以及数量积的定义相结合来寻找解题突破口，三角函数与数列相交汇时，常常用到数列的基本性质． 专题研究　三角函数的综合问题 题型一　三角函数图象与性质的综合 例1　已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(0<ω<1,0≤φ≤π)是R上的偶函数，其图象关于点M对称． (1)求φ，ω的值； (2)求函数f(x)的单调递增区间； (3)x∈，求f(x)的最大值与最小值． 解　(1)因为f(x)＝sin(ωx＋φ)是R上的偶函数，所以φ＝＋kπ，k∈Z， 又0≤φ≤π，则φ＝，即f(x)＝cosωx. 因为图象关于点M对称， 所以ω×＝＋kπ，k∈Z，又0<ω<1， 所以ω＝. (2)由(1)得f(x)＝cosx，由－π＋2kπ≤x≤2kπ，k∈Z，得3kπ－≤x≤3kπ，k∈Z， 所以函数f(x)的单调递增区间是，k∈Z. (3)因为x∈，所以x∈， 当x＝0，即x＝0时，函数f(x)取最大值1， 当x＝－，即x＝－时，函数f(x)取最小值0. [解题策略]　解决此类问题，一般先由图象或三角公式确定三角函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(或y＝Acos(ωx＋φ)＋b等)的解析式，然后把ωx＋φ看成一个整体研究函数的性质． 变式训练1　(2023·陕西咸阳模拟)已知函数f(x)＝cos2x＋sin. (1)求函数f(x)的最小正周期； (2)若α∈，f(α)＝，求cos2α. 解　(1)∵f(x)＝cos2x＋sin2x－cos2x＝sin2x＋cos2x＝sin， ∴函数f(x)的最小正周期为T＝π. (2)由f(α)＝可得，sin＝. ∵α∈，∴2α＋∈. 又0<sin＝<，∴2α＋∈， ∴cos＝－， ∴cos2α＝cos＝cos·cos＋sinsin＝. 题型二　三角函数与平面向量的综合 例2　(2022·甘肃白银模拟)已知向量a＝(，1)，b＝(sin2x,2sin2x－1)，x∈R. (1)若a∥b，且x∈[0，π]，求x的值； (2)记f(x)＝a·b(x∈R)，若将函数f(x)的图象上的所有点向左平移个单位得到函数g(x)的图象．当x∈时，求函数g(x)的值域． 解　(1)因为a∥b，所以(2sin2x－1)－sin2x＝0， 即sin2x＝－cos2x. 若cos2x＝0，则sin2x＝0，与sin22x＋cos22x＝1矛盾， 故cos2x≠0. 所以tan2x＝－，又x∈[0，π]， 所以2x∈[0,2π]，所以2x＝或2x＝， 即x＝或x＝，所以x的值为或. (2)因为f(x)＝a·b＝sin2x－cos2x＝ 2sin， 所以g(x)＝2sin＝2sin. 当x∈时，2x＋∈， 所以sin∈， 所以2sin∈[－1,2]， 即当x∈时，函数g(x)的值域为[－1,2]． [解题策略]　(1)题目条件给出的向量坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直等，得到三角函数的关系式，然后求解． (2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等． 变式训练2　已知a＝(sinx，cosx)，b＝(cosx，－cosx)，函数f(x)＝a·b＋. (1)求函数y＝f(x)图象的对称轴方程； (2)若方程f(x)＝在(0，π)上的解为x1，x2，求cos(x1－x2)的值． 解　(1)f(x)＝a·b＋ ＝sinxcosx－cos2x＋＝sin2x－cos2x ＝sin. 令2x－＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)， 即函数y＝f(x)图象的对称轴方程为x＝＋(k∈Z)． (2)由(1)及已知条件可知(x1，f(x1))与(x2，f(x2))关于直线x＝对称，则x1＋x2＝， 所以cos(x1－x2)＝cos ＝cos＝cos ＝sin＝f(x1)＝. 题型三　三角函数与解三角形的综合 例3　在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinA∶sinB∶sinC＝2∶1∶，b＝. (1)求a的值； (2)求cosC的值； (3)求sin的值． 解　(1)∵sinA∶sinB∶sinC＝2∶1∶， 由正弦定理可得a∶b∶c＝2∶1∶， 又b＝，∴a＝2，c＝2. (2)由余弦定理可得 cosC＝＝＝. (3)∵cosC＝，∴sinC＝ ＝， ∴sin2C＝2sinCcosC＝2××＝， cos2C＝2cos2C－1＝2×－1＝， ∴sin＝sin2C