第四章 第7讲 解三角形的应用举例-【金版教程】2024高考文科数学一轮复习创新方案word（全国统考版）

第7讲　解三角形的应用举例 1．仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)． 2．方位角 从正北方向线顺时针旋转到目标方向线的水平角．如B点方位角为α(如图②)． 3．方向角 相对于某一正方向的水平角，即从指定方向线到目标方向线的水平角(指定方向线一般是指正北或正南方向，方向角小于90°)．如北偏东α，南偏西α.特别地，北偏东45°的方向称为东北方向，南偏西45°的方向称为西南方向等． (1)北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③)； (2)北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向； (3)南偏西等其他方向角类似． 4．坡角与坡度 (1)坡角：坡面与水平面所成的二面角(如图④，角θ为坡角)． (2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡度)．坡度又称为坡比． 1．仰角与俯角是相对水平视线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的． 2．“方位角”与“方向角”的区别：方位角大小的范围是[0,2π)，方向角大小的范围是. 1．两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站北偏东40°方向上，灯塔B在观察站南偏东60°方向上，则灯塔A在灯塔B的(　　) A．北偏东10°方向上 B．北偏西10°方向上 C．南偏东10°方向上 D．南偏西10°方向上 答案　B 解析　A，B，C的位置如图所示．由题可知∠ACB＝180°－40°－60°＝80°，∵AC＝BC，∴∠ABC＝＝50°，∴∠ABD＝60°－50°＝10°.∴灯塔A在灯塔B的北偏西10°方向上．故选B． 2．(2023·四川巴中模拟)某快递公司在我市的三个门店A，B，C分别位于一个三角形的三个顶点处，其中门店A，B与门店C都相距a km，而门店A位于门店C的北偏东50°方向上，门店B位于门店C的北偏西70°方向上，则门店A，B间的距离为(　　) A．a km B．a km C．a km D．2a km 答案　C 解析　如图所示，依题意知CA＝CB＝a km，∠ACB＝50°＋70°＝120°，∠A＝∠B＝30°.由正弦定理，得＝.则AB＝＝a(km)，即门店A，B间的距离为a km.故选C． 3.如图所示，在山底A处测得山顶B的仰角∠CAB＝45°，沿倾斜角为30°的山坡向山顶走1000 m到达S点，又测得山顶的仰角∠DSB＝75°，则山高BC为(　　) A．500 m B．200 m C．1000 m D．1000 m 答案　D 解析　∵∠SAB＝45°－30°＝15°，∠SBA＝∠ABC－∠SBC＝45°－(90°－75°)＝30°，∴∠ASB＝135°，在△ABS中，由正弦定理，得AB＝＝＝1000(m)，∴BC＝ABsin45°＝1000×＝1000(m)． 4．(2022·江西师大附中三模)滕王阁，位于江西省南昌市西北部沿江路赣江东岸，始建于唐朝永徽四年，因唐代诗人王勃诗句“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而流芳后世．如图，小明同学为测量滕王阁的高度，在滕王阁的正东方向找到一座建筑物AB，高为12 m，在它们的地面上的点M(B，M，D三点共线)测得楼顶A，滕王阁顶部C的仰角分别为15°和60°，在楼顶A处测得阁顶部C的仰角为30°，则小明估算滕王阁的高度为(≈1.73)(　　) A．42 m B．45 m C．51 m D．57 m 答案　D 解析　由题意得，在Rt△ABM中，AM＝，在△ACM中，∠CAM＝30°＋15°＝45°，∠AMC＝180°－15°－60°＝105°，所以∠ACM＝30°，由正弦定理，得＝，则CM＝＝，又sin15°＝sin(45°－30°)＝×－×＝，在Rt△CDM中，CD＝CMsin60°＝＝＝36＋12≈57.故选D． 5．甲船在A处发现乙船在北偏东60°的B处，乙船正以a n mile/h的速度向北行驶．已知甲船的速度是a n mile/h，则甲船应沿着________方向前进，才能最快与乙船相遇． 答案　北偏东30° 解析　如图，设经过t h两船在C点相遇，则在△ABC中，BC＝at，AC＝at，B＝180°－60°＝120°，由＝，得sin∠CAB＝＝＝.∵0°<∠CAB<90°，∴∠CAB＝30°，∴∠DAC＝60°－30°＝30°.即甲船应沿着北偏东30°方向前进，才能最快与乙船相遇． 考向一　测量距离问题 例1　(1)如图所示，为了测量A，B处岛屿的距离，小明在D处观测A，B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶40海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60°方向，则A，B两处岛屿间的距离为(　　) A．20 海里 B．40 海里 C．20(1＋) 海里 D．40 海里 答