第四章 第6讲 正弦定理和余弦定理-【金版教程】2024高考文科数学一轮复习创新方案word（全国统考版）

第6讲　正弦定理和余弦定理 1．正弦定理 ＝＝＝2R， 其中2R为△ABC外接圆的直径． 变式：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC． a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC． 2．余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝a2＋c2－2accosB；c2＝a2＋b2－2abcosC． 变式：cosA＝；cosB＝；cosC＝. sin2A＝sin2B＋sin2C－2sinBsinCcosA． 3．在△ABC中，已知a，b和A时，三角形解的情况 图形 关系式 解的个数 A为锐角 a<bsinA 无解 a＝bsinA 一解 bsinA<a<b 两解 a≥b 一解 A为钝角或 直角 a>b 一解 a≤b 无解 4.三角形中常用的面积公式 (1)S＝ah(h表示边a上的高)． (2)S＝bcsinA＝acsinB＝absinC． (3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)． 1．三角形内角和定理 在△ABC中，A＋B＋C＝π； 变形：＝－. 2．三角形中的三角函数关系 (1)sin(A＋B)＝sinC； (2)cos(A＋B)＝－cosC； (3)sin＝cos； (4)cos＝sin. 3．三角形中的射影定理 在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB； b＝acosC＋ccosA； c＝bcosA＋acosB． 1．△ABC中，已知a＝，b＝2，B＝45°，则A＝(　　) A．30° B．60°或120° C．60° D．150° 答案　B 解析　因为a＝，b＝2，B＝45°，所以由正弦定理，得＝，可得sinA＝sin45°＝，所以A＝60°或120°.故选B． 2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，b＝2，cos(A＋B)＝，则c＝(　　) A．4 B． C．3 D． 答案　D 解析　∵cos(A＋B)＝，∴cosC＝－，由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC＝9＋4－2×3×2×＝17，∴c＝.故选D． 3．(2023·四川广元模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c＝2acosB，则此三角形一定是(　　) A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 答案　C 解析　∵c＝2acosB，∴由正弦定理，得sinC＝2sinAcosB，∴sin(A＋B)＝2sinAcosB， ∴sinAcosB＋cosAsinB＝2sinAcosB，∴sinAcosB－cosAsinB＝0，∴sin(A－B)＝0，∵0<A<π，0<B<π，∴－π<A－B<π，∴A－B＝0，∴A＝B．故选C． 4．在△ABC中，cosC＝，AC＝4，BC＝3，则cosB＝(　　) A． B． C． D． 答案　A 解析　∵在△ABC中，cosC＝，AC＝4，BC＝3，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcosC＝42＋32－2×4×3×＝9，∴AB＝3，∴cosB＝＝＝.故选A． 5．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，cosC＝－，3sinA＝2sinB，则c＝________. 答案　4 解析　由3sinA＝2sinB及正弦定理，得3a＝2b，所以b＝a＝3.由余弦定理，得cosC＝，得－＝，解得c＝4. 6．(2023·陕西汉中模拟)在△ABC中，AB＝，∠A＝75°，∠B＝45°，则AC＝________. 答案　2 解析　因为∠A＝75°，∠B＝45°，所以∠C＝60°，由正弦定理可得＝，解得AC＝2. 考向一　利用正、余弦定理解三角形 例1　(1)(2021·全国甲卷)在△ABC中，已知B＝120°，AC＝，AB＝2，则BC＝(　　) A．1 B． C． D．3 答案　D 解析　解法一：由余弦定理AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB，得BC2＋2BC－15＝0，解得BC＝3或BC＝－5(舍去)．故选D． 解法二：由正弦定理＝，得sinC＝，从而cosC＝(C是锐角)，所以sinA＝sin[π－(B＋C)]＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC＝×－×＝.又＝，所以BC＝3.故选D． (2)在△ABC中，若a＝2，b＝2，A＝60°，则B＝________. 答案　30° 解析　由正弦定理＝可得sinB＝＝＝，所以B＝30°或150°.又因为a＝2>2＝b，所以A>B，即B<60°，故B＝30°. (3)在①ac＝，②csinA＝3，③c＝b这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由． 问题：是否存在△ABC，它