第四章 第5讲 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用-【金版教程】2024高考文科数学一轮复习创新方案word（全国统考版）

第5讲　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用 1．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0) 振幅 周期 频率 相位 初相 A T＝ f＝＝ ωx＋φ φ 2.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点 如下表所示： ωx＋φ 0 π 2π x y＝Asin(ωx ＋φ) 0 A 0 －A 0 3.函数y＝sinx的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的步骤 1．对函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0，φ≠0，b≠0)，其图象的基本变换有： (1)振幅变换(纵向伸缩变换)：是由A的变化引起的，A>1时伸长，A<1时缩短． (2)周期变换(横向伸缩变换)：是由ω的变化引起的，ω>1时缩短，ω<1时伸长． (3)相位变换(横向平移变换)：是由φ引起的，φ>0时左移，φ<0时右移． (4)上下平移(纵向平移变换)：是由b引起的，b>0时上移，b<0时下移． 可以使用“先伸缩后平移”或“先平移后伸缩”两种方法来进行变换． 2．当相应变换的函数名不同时，先利用诱导公式将函数名化一致，再利用相应的变换得到结论． 3．由y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0，φ≠0，b≠0)的图象得到y＝sinx的图象，可采用逆向思维，将原变换反过来逆推得到． 1．(2022·浙江高考)为了得到函数y＝2sin3x的图象，只要把函数y＝2sin图象上所有的点(　　) A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 答案　D 解析　因为y＝2sin3x＝2sin，所以把函数y＝2sin图象上所有的点向右平移个单位长度即可得到函数y＝2sin3x的图象．故选D． 2．函数y＝sin在区间上的简图是(　　) 答案　A 解析　令x＝0得y＝sin＝－，排除B，D；由x＝－时，y＝0，x＝时，y＝0，排除C．故选A． 3．(2023·南昌质检)将曲线y＝2sin上的每个点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到的曲线的一条对称轴方程为(　　) A．x＝ B．x＝－ C．x＝ D．x＝－ 答案　C 解析　依题意得变换后的函数解析式为y＝2sin，令2x＋＝＋kπ(k∈Z)，解得x＝＋(k∈Z)，再结合选项，知选C． 4．(2023·信阳模拟)函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是(　　) A．2，－ B．2，－ C．4，－ D．4， 答案　A 解析　由题图可知，T＝＋＝，所以T＝π，ω＝＝2.因为点在图象上，所以2×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，所以φ＝－＋2kπ，k∈Z.又－<φ<，所以φ＝－.故选A． 5．已知函数f(x)＝sin.给出下列结论： ①f(x)的最小正周期为2π； ②f是f(x)的最大值； ③把函数y＝sinx的图象上所有的点向左平移个单位长度，可得到函数y＝f(x)的图象． 其中所有正确结论的序号是(　　) A．① B．①③ C．②③ D．①②③ 答案　B 解析　因为f(x)＝sin，所以最小正周期T＝＝2π，故①正确；f＝sin＝sin＝≠1，故②不正确；将函数y＝sinx的图象上所有的点向左平移个单位长度，得到y＝sin的图象，故③正确．故选B． 6．函数y＝tan的图象与x轴交点的坐标是________. 答案　，k∈Z 解析　令2x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝－(k∈Z)．∴函数y＝tan的图象与x轴交点的坐标是，k∈Z. 考向一　“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的图象 例1　用五点法作出y＝2sin在内的图象． 解　2×＋＝－，2×＋＝， 令2x＋＝0，得x＝－. 令2x＋＝，得x＝. 令2x＋＝π，得x＝. 令2x＋＝，得x＝. 列表如下： 2x＋ － 0 π x － － y － 0 2 0 －2 － 描点作图． 　　用“五点法”作正、余弦型函数图象的步骤 (1)将原函数化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的形式； (2)确定周期； (3)确定一个周期内函数图象的最高点和最低点； (4)选出一个周期内函数图象与x轴的三个交点； (5)列表； (6)描点作图． 　1.用“五点法”画出函数y＝sin＋cos的图象． 解　∵函数y＝sin＋cos＝2＝2＝2sin， 列表如下： ＋ 0 π 2π x － y 0 2 0 －2 0 描点、连线作图如下： 将函数y＝2sin，x∈的图象不断向左、向右平移(每次移动4π个单位长度)，就可