第四章 第4讲 三角函数的图象与性质-【金版教程】2024高考文科数学一轮复习创新方案word（全国统考版）

第4讲　三角函数的图象与性质 1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 在正弦函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)； 在余弦函数y＝cosx，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)． 2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质 函数 y＝sinx y＝cosx y＝tanx 图象 定义域 x∈R x∈R 值域 [－1,1] [－1,1] R 单调性 在(k∈Z)上单调递增； 在(k∈Z)上单调递减 在[(2k－1)π，2kπ](k∈Z)上单调递增； 在[2kπ， (2k＋1)π] (k∈Z)上单调递减 在＋kπ， (k∈Z)上单调递增 最值 x＝＋ 2kπ(k∈Z)时，ymax＝1； x＝－＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1 x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1； x＝π＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1 无最值 奇偶性 奇 偶 奇 对称性 对称中心 (kπ，0)，k∈Z ， k∈Z ， k∈Z 对称轴 直线x＝kπ＋，k∈Z 直线x＝kπ，k∈Z 无对称轴 最小正 周期 2π 2π π 1．对于y＝tanx不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个开区间(k∈Z)内为增函数． 2．求三角函数的最小正周期，应先化简为只含一个三角函数一次式的形式． 3．函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期T＝，函数y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期T＝.函数y＝|Asin(ωx＋φ)|，y＝|Acos(ωx＋φ)|，y＝|Atan(ωx＋φ)|的周期均为T＝.函数y＝|Asin(ωx＋φ)＋b|(b≠0)，y＝|Acos(ωx＋φ)＋b|(b≠0)的周期均为T＝. 4．正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是周期．正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半周期． 5．三角函数中奇函数一般可化为y＝Asinωx或y＝Atanωx的形式，偶函数一般可化为y＝Acosωx＋b的形式． 6．若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)，则 (1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝＋kπ(k∈Z)； (2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)． 7．形如f(x)＝Asin(ωx＋φ)形式的函数的单调性，应利用复合函数的单调性研究，在求其单调区间时要注意A和ω的符号，应首先化成ω>0的形式，避免出现增减区间的混淆． 1．函数y＝tan的定义域是(　　) A． B． C． D． 答案　D 解析　y＝tan＝－tan，由x－≠＋kπ，k∈Z，得x≠kπ＋，k∈Z.故选D． 2．下列函数中，周期为2π的奇函数为(　　) A．y＝sincos B．y＝sin2x C．y＝tan2x D．y＝sin2x＋cos2x 答案　A 解析　y＝sincos＝sinx为奇函数，周期为2π，故A正确；y＝sin2x为偶函数，故B不正确；y＝tan2x的周期为，故C不正确；y＝sin2x＋cos2x为非奇非偶函数，故D不正确．故选A． 3．函数y＝sin，x∈[－2π，2π]的单调递增区间是(　　) A． B．和 C． D． 答案　C 解析　令2kπ－≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，得4kπ－≤x≤4kπ＋(k∈Z)，又因为x∈[－2π，2π]，故其单调递增区间是.故选C． 4．(2023·内江模拟)函数y＝tan的值域为(　　) A． B．[－tan1，tan1] C．[－1,1] D． 答案　C 解析　令t＝sin2x，则当x∈R时，t＝sin2x∈[－1,1]，则sin2x∈，而y＝tanx在上单调递增，所以tan∈[－1,1]．故选C． 5．函数f(x)＝cosx－cos2x，试判断函数的奇偶性及最大值(　　) A．奇函数，最大值为2 B．偶函数，最大值为2 C．奇函数，最大值为 D．偶函数，最大值为 答案　D 解析　因为f(x)的定义域为R，关于原点对称，f(－x)＝cos(－x)－cos(－2x)＝cosx－cos2x＝f(x)，所以该函数为偶函数，又f(x)＝cosx－cos2x＝－2cos2x＋cosx＋1＝－22＋，所以当cosx＝时，f(x)取最大值.故选D． 6．函数y＝3－2cos的最大值为________，此时x＝________. 答案　5　＋2kπ(k∈Z) 解析　函数y＝3－2cos的最大值为3＋2＝5，此时x＋＝π＋2kπ(k∈Z)，即x＝＋2kπ(k∈Z). 考向一　三角函数的定义域 例1　(1)(2023·甘肃白银模拟)函数f(x)＝的定义域