第四章 第3讲 简单的三角恒等变换-【金版教程】2024高考文科数学一轮复习创新方案word（全国统考版）

第3讲　简单的三角恒等变换 1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 公式名 公式 二倍角的正弦 sin2α＝2sinαcosα 二倍角的余弦 cos2α＝cos2α－sin2α＝1－2sin2α＝2cos2α－1 二倍角的正切 tan2α＝ 1．公式的常用变式：tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)；tanαtanβ＝1－＝－1. 2．降幂公式：sin2α＝；cos2α＝；sinαcosα＝sin2α. 3．升幂公式：1＋cosα＝2cos2；1－cosα＝2sin2；1＋sinα＝2；1－sinα＝2. 4．常用拆角、拼角技巧：例如2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β；β＝－＝(α＋2β)－(α＋β)；α－β＝(α－γ)＋(γ－β)；＋α＝－等． 5．辅助角公式：一般地，函数f(α)＝asinα＋bcosα(a，b为常数)可以化为f(α)＝ sin(α＋φ)或f(α)＝cos(α－φ). 1．sin20°sin10°－cos20°cos10°＝(　　) A．－ B．－ C． D． 答案　A 解析　sin20°sin10°－cos20°cos10°＝－(cos20°·cos10°－sin20°sin10°)＝－cos(20°＋10°)＝－cos30°＝－. 2．(2021·全国乙卷)cos2－cos2＝(　　) A. B． C． D． 答案　D 解析　cos2－cos2＝cos2－cos2＝cos2－sin2＝cos＝.故选D. 3．(2023·咸阳模拟)若cos＝，则sin2α＝(　　) A. B． C．－ D．－ 答案　D 解析　sin2α＝cos＝cos＝2cos2－1＝2×2－1＝－.故选D. 4．若角α满足sinα＋2cosα＝0，则tan2α＝(　　) A．－ B． C．－ D． 答案　D 解析　由题意知，tanα＝－2，所以tan2α＝＝.故选D. 5．已知sinθ＋sin＝1，则sin＝(　　) A. B． C． D． 答案　B 解析　由题意可得sinθ＋sinθ＋cosθ＝1，则sinθ＋cosθ＝1，sinθ＋cosθ＝，从而有sinθcos＋cosθsin＝，即sin＝.故选B. 6．已知2tanθ－tan＝7，则tanθ＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 答案　D 解析　∵2tanθ－tan＝7，∴2tanθ－＝7.令t＝tanθ，t≠1，则2t－＝7，整理得t2－4t＋4＝0，解得t＝2，即tanθ＝2.故选D. 考向一　公式的简单应用 例1　(1)(2022·揭阳模拟)若sin＝，则sin4α－cos4α的值为(　　) A. B． C．－ D．－ 答案　D 解析　由sin＝，得cos2α＝，所以sin4α－cos4α＝(sin2α＋cos2α)(sin2α－cos2α)＝－cos2α＝－.故选D. (2)若cosα＝－，α是第三象限角，则sin＝(　　) A. B．－ C．－ D． 答案　B 解析　∵α是第三象限角，∴sinα＝－＝－ ＝－，因此，sin＝sinαcos＋cosαsin＝×＋×＝－. (3)已知sinα＝，α∈，tan(π－β)＝，则tan(α－β)的值为(　　) A．－ B． C． D．－ 答案　A 解析　因为sinα＝，α∈，所以cosα＝－＝－，所以tanα＝＝－.因为tan(π－β)＝－tanβ＝，所以tanβ＝－，则tan(α－β)＝＝－. (4)(2023·绵阳模拟)已知sinα＝sin＋，则cos的值为(　　) A. B．－ C. D．－ 答案　B 解析　由sinα＝sin＋，得sinα＝sinαcos＋cosαsin＋＝sinα＋cosα＋，则cosα－sinα＝－，即cos＝－. (5)(2022·新高考Ⅱ卷)若sin(α＋β)＋cos(α＋β)＝2cossinβ，则(　　) A．tan(α－β)＝1 B．tan(α＋β)＝1 C．tan(α－β)＝－1 D．tan(α＋β)＝－1 答案　C 解析　由已知得sinαcosβ＋cosαsinβ＋cosαcosβ－sinαsinβ＝2(cosα－sinα)sinβ，即sinαcosβ－cosαsinβ＋cosαcosβ＋sinαsinβ＝0，即sin(α－β)＋cos(α－β)＝0，所以tan(α－β)＝－1.故选C. 　　利用三角函数公式时应注意的问题 (1)首先要注意公式的结构特点和符号变化规律，例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”． (2)应注意与同角三角函数的基本关系、诱导公式的综合应用． 　1.已知角α的终边经过点P(sin47