第四章 第2讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式-【金版教程】2024高考文科数学一轮复习创新方案word（全国统考版）

第2讲　同角三角函数的基本关系与诱导公式 1．同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1. (2)商数关系：tanα＝. 2．角的对称 相关角的终边 对称性 α与π＋α 关于原点对称 α与π－α 关于y轴对称 α与－α 关于x轴对称 α与－α 关于y＝x对称 3.三角函数的诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sinα －sinα －sinα sinα cosα cosα 余弦 cosα －cosα cosα －cosα sinα －sinα 正切 tanα tanα －tanα －tanα 口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限 同角三角函数基本关系式的常用变形 (sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα； (sinα＋cosα)2＋(sinα－cosα)2＝2； (sinα＋cosα)2－(sinα－cosα)2＝4sinαcosα； sinα＝tanαcosα； sin2α＝＝； cos2α＝＝. 1．cos(－1560°)的值为(　　) A．－ B．－ C． D． 答案　B 解析　cos(－1560°)＝cos(－5×360°＋240°)＝cos240°＝cos(180°＋60°)＝－cos60°＝－. 2．(2023·甘肃白银模拟)已知sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)，|θ|＜，则θ＝(　　) A．－ B．－ C． D． 答案　D 解析　∵sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)，∴－sinθ＝－cosθ，∴tanθ＝.∵|θ|＜，∴θ＝.故选D. 3．若tan(5π＋α)＝m，则的值为(　　) A. B． C．－1 D．1 答案　A 解析　∵tan(5π＋α)＝m，∴tanα＝m.原式＝＝＝＝.故选A. 4．(2023·四川巴中模拟)若＝，则sinα＋cosα＝(　　) A. B． C．1 D． 答案　A 解析　由＝，得cosα＝2sinα－1，又sin2α＋cos2α＝1，∴sin2α＋(2sinα－1)2＝1，解 得sinα＝或sinα＝0(舍去)，故cosα＝，sinα＋cosα＝.故选A. 5．已知cos31°＝a，则sin239°tan149°的值为(　　) A. B． C. D．－ 答案　B 解析　sin239°tan149°＝sin(270°－31°)tan(180°－31°)＝－cos31°(－tan31°)＝sin31°＝.故选B. 6．已知sin＝，则cos＝________. 答案　－ 解析　cos＝cos＝cos＝－cos，而sin＝sin＝cos＝，所以cos＝－. 精准设计考向，多角度探究突破 考向一　同角三角函数的基本关系 角度　切弦互化 例1　(1)已知sinα＝，且α∈，则tanα＝(　　) A. B． C．－ D．－ 答案　C 解析　因为sinα＝，且α在第二象限，所以cosα＝－，故tanα＝－.故选C. (2)已知2tanαsinα＝3，－＜α＜0，则sinα的值为(　　) A. B．－ C． D．－ 答案　B 解析　因为2tanαsinα＝3，所以＝3，所以2sin2α＝3cosα，即2－2cos2α＝3cosα，所以cosα＝或cosα＝－2(舍去)，又因为－＜α＜0，所以sinα＝－.故选B. 　利用同角三角函数基本关系式解决“知一求二”问题的方法 　1.(2023·四川宜宾模拟)若tanθ＝－2，且θ∈，则sinθ＋cosθ＝(　　) A. B． C．－ D．－ 答案　C 解析　因为tanθ＝＝－2，所以sinθ＝－2cosθ.又因为sin2θ＋cos2θ＝1，所以4cos2θ＋cos2θ＝1，可得cos2θ＝，因为θ∈，则cosθ>0，所以cosθ＝，所以sinθ＝－2cosθ＝－，所以sinθ＋cosθ＝－＋＝－.故选C. 2．(2023·甘肃兰州模拟)已知<θ<，sinθ－2cosθ＝1，则tanθ＝(　　) A. B． C．－ D．－ 答案　B 解析　∵sinθ－2cosθ＝1，∴sinθ＝2cosθ＋1，两边同时平方可得sin2θ＝4cos2θ＋4cosθ＋1.又sin2θ＋cos2θ＝1，故5cos2θ＋4cosθ＝0，解得cosθ＝－或cosθ＝0.又<θ<，∴cosθ＝－，sinθ＝－，故tanθ＝.故选B. 角度　“1”的变换 例2　(1)(2022·资阳模拟)已知＝5，则sin2α－sinαcosα的值是(　　) A. B．－ C．－2 D．2 答案　A 解析　由＝5，得＝5，即t