第三章 第1讲 导数的概念及运算-【金版教程】2024高考文科数学一轮复习创新方案word（全国统考版）

第1讲　导数的概念及运算 1．导数的概念 (1)y＝f(x)在x＝x0处的导数就是y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率，记作：y′|x＝x0或f′(x0)，即 f′(x0)＝ ＝ . (2)当把上式中的x0看作变量x时，f′(x)即为f(x)的导函数，简称导数，即 y′＝f′(x)＝ . 2．导数的几何意义 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，即曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k＝f′(x0)，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0). 3．基本初等函数的导数公式 (1)若f(x)＝c(c为常数)，则f′(x)＝0. (2)若f(x)＝xα(α∈Q*)，则f′(x)＝αxα－1. (3)若f(x)＝sinx，则f′(x)＝cosx. (4)若f(x)＝cosx，则f′(x)＝－sinx. (5)若f(x)＝ax，则f′(x)＝axln_a. (6)若f(x)＝ex，则f′(x)＝ex. (7)若f(x)＝logax，则f′(x)＝. (8)若f(x)＝ln x，则f′(x)＝. 4．导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x). (2)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x). 特别地：[cf(x)]′＝cf′(x)(c为常数)． (3)′＝(g(x)≠0)． 1．f′(x0)与x0的值有关，不同的x0，其导数值一般也不同． 2．f′(x0)不一定为0，但[f(x0)]′一定为0. 3．可导奇函数的导数是偶函数，可导偶函数的导数是奇函数，可导周期函数的导数还是周期函数． 4．函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”． 5．两类切线问题的区别 (1)“过”与“在”：曲线y＝f(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别：前者P(x0，y0)为切点，而后者P(x0，y0)不一定为切点． (2)“切点”与“公共点”：曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点． 1．已知某物体的运动方程为s(t)＝7t2＋8(0≤t≤5)，则下列说法正确的是(　　) A．该物体当1≤t≤3时的平均速度是26 B．该物体在t＝4时的瞬时速度是56 C．该物体位移的最大值为43 D．该物体在t＝5时的瞬时速度是7 答案　B 解析　该物体在1≤t≤3时的平均速度是＝＝28，A错误； ＝ ＝ (56＋7Δt)＝56，B正确；当t＝5时，s(5)＝7×52＋8＝183，C错误； ＝ ＝ (70＋7Δt)＝70，D错误．故选B． 2．(2023·甘肃陇西第二中学模拟)已知函数f(x)＝ln x＋f′(1)x2，则曲线y＝f(x)在x＝1处的切线斜率为(　　) A．1 B．2 C．－1 D．－2 答案　C 解析　因为f′(x)＝＋2f′(1)x，令x＝1，得f′(1)＝1＋2f′(1)，所以f′(1)＝－1，即曲线y＝f(x)在x＝1处的切线斜率k＝－1. 3．曲线y＝2sinx＋cosx在点(π，－1)处的切线方程为(　　) A．x－y－π－1＝0 B．2x－y－2π－1＝0 C．2x＋y－2π＋1＝0 D．x＋y－π＋1＝0 答案　C 解析　设y＝f(x)＝2sinx＋cosx，则f′(x)＝2cosx－sinx，∴f′(π)＝－2，∴曲线在点(π，－1)处的切线方程为y－(－1)＝－2(x－π)，即2x＋y－2π＋1＝0.故选C． 4．(2023·西宁模拟)若曲线y＝ex＋ax＋b在点(0,2)处的切线l与直线x＋3y＋1＝0垂直，则a＋b＝(　　) A．3 B．－1 C．1 D．－3 答案　A 解析　因为直线x＋3y＋1＝0的斜率为－，所以切线l的斜率为3，即y′|x＝0＝e0＋a＝1＋a＝3，所以a＝2；又曲线过点(0,2)，所以e0＋b＝2，解得b＝1.所以a＋b＝3.故选A． 5．设函数f(x)＝.若f′(1)＝，则a＝________. 答案　1 解析　f′(x)＝＝，则f′(1)＝＝，整理可得a2－2a＋1＝0，解得a＝1. 6．在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝ln x上，且该曲线在点A处的切线经过点(－e，－1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是________. 答案　(e,1) 解析　设A(m，n)，则曲线y＝ln x在点A处的切线方程为y－n＝(x－m)．又切线过点(－e，－1)，所以有n＋1＝(m＋e)．再由n＝ln m，解得m＝e，n＝1.故点A的坐标为(e,1