2.4.4利用基本不等式求最值-高中数学题型分类汇总大全（2023版）

4.利用基本不等式求最值 1．（2023·山西朔州·怀仁市第一中学校校考二模）在中，M是线段AC的一个三等分点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得M为AC靠近C的一个三等分点，令，，根据角的关系及两角差的正切公式可得，接着利用基本不等式和正切函数的性质即可求解 【详解】要使尽可能大，则M为AC靠近C的一个三等分点， 令，， 所以由题意可得，， 则 ， ∵，当且仅当x＝时取等号． 所以， 又因为，且在上单调递增，所以的最大值为． 故选：D 2．（2022秋·江西景德镇·高一景德镇一中校考期末）已知不等式对任意上恒成立，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】变形给定的不等式，构造函数，结合指数函数的单调性及基本不等式求解作答. 【详解】，， 令，，当且仅当，即时取等号， 因此当时，取得最小值4，则， 所以实数m的取值范围是. 故选：C 3．（2022秋·广东深圳·高二深圳外国语学校校考期末）已知曲线，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用，可求的最大值． 【详解】曲线，， 又，当且仅当时取等号， ， ， ， ， 的最大值为． 故选：． 4．（2023春·湖南株洲·高三株洲二中校考阶段练习）已知函数，，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题得，则有，首先解出的范围，则，设，，利用对勾函数的图象与性质即可得到其范围. 【详解】由题知，显然， 则，即， 则，则，，即，解得， ，设，， 令，解得， 根据对勾函数的图象与性质可知函数在上单调递减， 故其值域为. 故选：C. 5．（2023秋·江西赣州·高一统考期末）已知函数，.若对所有，恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意有在时恒成立，设，由即可解出实数的取值范围. 【详解】，由， 当且仅当即时等号成立，， 若对所有，恒成立，所以对所有恒成立， 设，依题意有，解得，即. 所以实数的取值范围是为. 故选：D 6．（2023·高一单元测试）若且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先化简，得，得，将变形后分子、分母同除以，转化为关于的式子，利用基本不等式求得，即可得解． 【详解】由，得，得 ， 则， 因为 ， 因为，所以，故， 当且仅当，即时，等号成立， 故， 所以，所以的最小值是， 故选：B 7．（2023春·内蒙古巴彦淖尔·高二校考阶段练习）已知正实数满足.则的最小值为（    ） A．3 B．9 C．4 D．8 【答案】B 【分析】对不等式变形后利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】a，b均为正实数， ， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：B 8．（2023春·河南新乡·高三校联考开学考试）已知函数若的最小值为6，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由基本不等式求得在时的最小值是6，因此时函数的最小值不小于6，根据二次函数性质分类讨论求解． 【详解】因为当时，，当且仅当时，等号成立， 所以当时，，当时，的最小值大于或等于6. 当时，在上单调递减，则. 由得； 当时，. 由得. 综合可得. 故选：C． 9．（2021秋·北京·高一北京交通大学附属中学校考期中）某人从甲地到乙地往返的速度分别为和 ，其全程的平均速度为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平均速度的知识求得，结合基本不等式求得正确答案. 【详解】设甲乙两地距离为， 则，其中， 所以， ，，所以， 由于， 综上所述，. 故选：C 10．（2022春·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考期末）设函数的最大值为M，最小值为m，则（     ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】C 【分析】根据基本不等式，结合分离常数法，可得答案. 【详解】由函数，显然，当，， 当时，，当且仅当，即时，等号成立，则，故； 当时，，当且仅当，即时，等号成立，则故； 综上可得，，，则. 故选：C. 11．（2023·全国·高三专题练习）设二次函数在上有最大值，最大值为，当取最小值时，（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的性质求出，然后利用基本不等式即得. 【详解】在上有最大值， 且当时，的最大值为， 即且 ， 当且仅当时，即时，有最小值2， 故选：A． 12．（2022秋·重庆南岸·高三重庆市第十一中学校校考阶段练习）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用，正弦定理和基本不等式即可求解. 【详解】由和正弦