2.4.3利用单调性求值域-高中数学题型分类汇总大全（2023版）

3.利用单调性求值域 1．（2023·陕西榆林·统考二模）已知函数满足，当时，，若对任意的，都有，则m的最大值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】由函数满足，则，根据所在不同区间，求得函数的最值范围，根据已知条件任意，都有，解不等式即可求得的取值范围. 【详解】因为函数满足，则， 当时，，， 当时，，，， 当时，，，， 当时，，或. 时，恒成立，时， 因为任意的，， 所以，故m的最大值是5. 故选：B 2．（2023秋·湖南郴州·高一统考期末）已知函数，用表示中的较小者，记为，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】先把写成分段函数的形式，再求最大值即可 【详解】令，即,解得, 所以， 当时，由在定义域内单调递减可得， 当时，由二次函数的性质可得, 综上，函数的最大值为， 故选：D 3．（2022秋·山西阳泉·高三统考期末）已知函数在区间上的最小值为，最大值为，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】首先求出函数的最大值及单调区间，依题意可得在区间上单调递增，即可得到，从而得到、为方程的两根，再利用韦达定理计算可得. 【详解】解：因为，对称轴为，开口向下， 函数在上单调递增，在上单调递减， 依题意，所以，所以在区间上单调递增， 所以，即，所以、为方程的两根， 所以. 故选：A 4．（2023秋·江苏苏州·高一统考开学考试）设函数的定义域为，满足，且当时，.则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分，和进行分类讨论，即可求解 【详解】当，，解得无实数解； 当，，则由可得， 令，整理得，解得 解得， 当，，则由可得， 因为，所以，所以恒成立， 综上所述，不等式的解集是 故选：A 5．（2021秋·河南信阳·高一校考阶段练习）函数，，对，，使成立，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】理解题意，将“对，，使得成立”转化为两函数值域的包含关系，先分别求解两函数在上的值域，再由包含关系求出a的取值范围. 【详解】， 当时， ，， 即值域为. 又，则为增函数， 当时， 值域为. 要使对，，使得 成立， 则， ，解得 ，所以实数的取值范围是. 故选：C. 6．（2023秋·山东菏泽·高一山东省东明县第一中学校考期末）已知，设，则函数的最小值是（    ） A．－2 B．－1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据题意，将问题转化为分段函数的最小值问题，然后根据函数的单调性求解． 【详解】由，即，解得或； 由，即，解得. 由题意， 则在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增， 故函数的最小值是． 故选：A． 7．（2019秋·吉林·高三辉南县第一中学校考阶段练习）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用换元法，转化为求在上的值域，利用单调性法即可求解. 【详解】令，则， 所以在 上单减，在上单增，所以最小值为. 该函数的值域为． 故选：A． 8．（2022秋·福建厦门·高一厦门外国语学校校考期末）若函数的值域是，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对勾函数的单调性求值域. 【详解】令，则， 由对勾函数的性质可知：在上单调递减，在上单调递增， 故当时，取得最小值，最小值为， 又当时，，当时，， 故的值域为. 故选：B 9．（2022秋·四川广安·高一统考期末）下列函数中，最小值为2的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】对于A项，方法1：举反例，方法2：运用单调性性质分析；对于B项，换元法后使用基本不等式分析；对于C项，运用指数函数的值域分析；对于D项，运用二次函数的单调性分析其值域. 【详解】对于选项A，方法1：当时，，所以2不是的最小值，故A项错误； 方法2：因为在，上单调递增，所以其值域为R，故A项错误； 对于选项B，因为定义域为R，令 ，则，所以 ， 又因为，当且仅当时取等号，故的最小值为2，所以值域为，故B项正确； 对于选项C，因为， 所以，所以值域为，故C项错误； 对于选项D，因为对称轴为，其在上单调递减，在上单调递增，所以当时，，所以值域为，故D项正确. 故选：BD. 10．（2023·河北邯郸·统考一模）已知函数，则（    ） A．的定义域是 B．有最大值 C．不等式的解集是 D．在上单调递增 【答案】AB 【分析】根据函数解析式，求解函数定义域，利用复合函数单调性求解单调区间及最值，利用单调性解函数不等式。 【详解】由题意可得，解得，即的定义域是，则A正确； ，因为在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，则B正确； 因为在上单调