2.4.2分离常数法求值域-高中数学题型分类汇总大全（2023版）

2.分离常数法求值域 1．（2023·甘肃兰州·校考模拟预测）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由于当时，，所以当时，求出的最小值，使其最小值小于等于1即可. 【详解】当时，， 当时， ， 因为函数的值域为， 所以，得， 所以实数的取值范围是， 故选：D. 2．（2023秋·湖南永州·高一永州市第一中学校考期末）下列四个函数：①，②，③，④，其中定义域和值域相同的函数有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】分别求出四个函数的定义域和值域即可求解. 【详解】对于①：由一次函数的性质可知定义域为，值域为；定义域和值域相同，故①符合题意； 对于②：根据分段函数的性质可知：分段函数的定义域为，当时，的值域为，当时，的值域为，因此分段函数的值域为；定义域和值域相同，故②符合题意； 对于③：由可得，所以的定义域为， ，当时，在上单调递增，此时值域为，当时，在上单调递减，此时值域为，所以的值域为，定义域和值域不同，故③不符合题意； 对于④：由可得，所以的定义域为， ，因为，所以， 即，所以的值域为，定义域和值域相同，故④符合题意； 定义域和值域相同的函数有①②④，有个. 故选：B. 3．（2022秋·浙江杭州·高一校联考期中）函数，则下列结论错误的是（    ） A．函数在定义域上为奇函数 B．函数在区间上单调递增 C．函数的值域为 D．函数的图像与直线有且只有两个交点 【答案】D 【分析】根据奇函数定义判断A；结合时函数的单调性和奇函数性质判断B；根据时，并结合奇函数性质判断C；根据时，与有一个交点并结合奇函数性质判断D. 【详解】解：函数定义域为，且，故函数为奇函数，故A选项正确； 当时，，该函数在上为增函数， 所以，结合奇函数的性质，可知函数在上为增函数， 所以，函数在区间上单调递增，故B选项正确； 当时，， 所以，结合奇函数性质，可得函数的值域为，故C选项正确； 当时，，与联立方程，解得， 所以，时的图像与直线有一个交点，坐标为 因为也是奇函数， 所以，其图像含有两个交点，分别为， 所以，函数的图像与直线有三个交点，故D选项错误. 故选：D 4．（2022秋·山西太原·高一太原五中校考阶段练习）已知函数，则函数具有下列性质（    ） A．函数的图象关于点对称 B．函数在定义域内是减函数 C．函数的图象关于直线对称 D．函数的值域为 【答案】D 【分析】结合已知条件，利用函数的对称性可判断AC；利用单调区间的特征可判断B；利用分离常数法可判断D. 【详解】因为， 所以， ， 故的图像关于对称，不关于对称，从而AC错误； 由题意，的定义域为，而单调区间不能用“”连接，故B错误； 因为，， 所以的值域为，故D正确. 故选：D. 5．（2022秋·河南郑州·高三校考阶段练习）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先换元，再分离常数求值域即可. 【详解】令，， 可得，， ，故. 故选：B. 6．（2021秋·河南安阳·高一校考阶段练习）函数y的值域是（　　） A．（﹣∞，+∞） B．（﹣∞，）∪（，+∞） C．（﹣∞，）∪（，+∞） D．（﹣∞，）∪（，+∞） 【答案】D 【分析】分离常数即可得出，从而得出，进而得出该函数的值域． 【详解】解：， ∴y， ∴该函数的值域为． 故选：D． 7．（2023秋·河北唐山·高一滦南县第一中学校考期末）下列四个函数，其中定义域与值域相同的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】逐项求函数的定义域和值域可得答案. 【详解】对于A，函数的定义域为，值域为，故A正确； 对于B，函数的定义域为，值域为，故B错误； 对于C，函数的定义域为，值域为，故C错误； 对于D，函数的定义域为，值域为，故D正确. 故选：AD. 8．（2023秋·湖北·高一校联考期末）已知函数，以下结论正确的是（    ） A．为奇函数 B．对任意的都有 C．对任意的都有 D．的值域是 【答案】ACD 【分析】根据奇偶性定义可知A正确；取可知B错误；当时，，结合反比例函数的性质可确定在上单调递增，结合奇偶性可知在上单调递增，知C正确；分离常数后可得在上的值域，结合对称性可得的值域，知D正确. 【详解】对于A，定义域为，， 为定义在上的奇函数，A正确； 对于B，由A知：为定义在上的奇函数，； 取，则，， ，B错误； 对于C，当时，， 在上单调递减，在上单调递增； 又为上的奇函数，在上单调递增， 在上单调递增，则，C正确； 对于D，当时，，， 又图象关于原点对称，当时，； 综上所述：的值域为，D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数奇偶性、单调性综合应用问题，解题关