2.4.1二次函数在闭区间上的最值-高中数学题型分类汇总大全（2023版）

1.二次函数在闭区间上的最值 1．（2023春·天津武清·高二校考阶段练习）已知函数，，若对任意的，存在，使，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可知，转化为分别求两个函数的最小值，利用导数求函数最小值，对于函数，讨论函数的对称轴和定义域的关系，求函数的最小值. 【详解】由题意可知，因为， 所以，且， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以当时，取得最小值，， ，， ①当时，函数单调递增，， 即，解得：，不成立； ②当时，， 即，解得：或，不成立； ③当时，函数单调递减，， 即，解得：，成立. 综上可知：. 故选：B 2．（2023秋·河南安阳·高三校考期末）已知函数在区间单调递增，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可知不等式在上恒成立，对称轴为.分别对、、三种情况讨论函数的单调性求出函数对应的最小值，结合m的取值范围分别求出、取值范围即可. 【详解】因为函数在上单调递增， 所以不等式在上恒成立， 令，，对称轴为. 当即时，函数在上单调递减， ，得， 所以， 由知，，无法判断的取值范围； ， 由知，； 当即时，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，得， 所以， 由知，， ； 当即时，函数在上单调递增， ，所以，. 故选：D. 3．（2023·新疆阿勒泰·统考一模）已知二次函数（a，b为常数）满足，且方程有两等根，在上的最大值为，则的最大值为__________. 【答案】1 【分析】由有两等根，可得得，由可得 为对称轴，可得，则可得到的解析式，对分类讨论，利用函数单调性可得的最大值. 【详解】解：已知方程有两等根，即有两等根， ，解得； ，得，是函数图象的对称轴. 而此函数图象的对称轴是直线，， 故， 若在上的最大值为， 当时，在上是增函数，， 当时，在上是增函数，在上是减函数，， 综上，的最大值为1. 故答案为：1. 4．（2023春·湖北鄂州·高三校考阶段练习）函数在上单调递增，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】恒成立，导函数转化为二次函数与正弦函数的复合函数所对应的不等式. 【详解】因为 所以，又因为函数在上单调递增 所以在上恒成立， 即在上恒成立， 也是在上恒成立 ，只需要满足时对应的函数值都不大零即可. 则只需要满足，即 故答案为： 5．（2023秋·河南安阳·高一统考期末）若当（）时，函数是单调函数，且值域为．则称区间为函数的“域同区间”若函数存在域同区间，则实数m的取值范围为________． 【答案】 【分析】根据已知域同区间的定义，分函数在区间上单调递减和单调递增两种情况分类，列出方程组讨论结果，即可得到答案． 【详解】若，则在上单调递减，所以 得 ，所以，， 则，又因为，所以， 则有，所以， 当时，在上单调递增，所以 则关于x的方程有两个不同的非负根，所以解得， 综上可知. 故答案为： 6．（2022秋·海南海口·高一海口一中校考阶段练习）已知函数．若使得成立，则的范围是____________． 【答案】 【分析】根据题意，使得，即，将问题转化为求的最小值，与的最大值，的最值需要对进行分类讨论，进而可得出关于实数的不等式，综合可得出实数的取值范围. 【详解】因为对于使得， 即，即. 因为，函数在上单调递增，单调递减， ，即，即， 又， 设，则，，对称轴为， ①当即时，，即， 解得，所以； ②当即，，即，解得. 所以解集为， ③当时，即，，解得，此时解集为. 综上，的取值范围是 故答案为： 7．（2022秋·新疆克拉玛依·高一克拉玛依市高级中学校考期中）已知函数， (1)当时，解不等式； (2)若时，求函数的最小值和最大值. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）按照不含参数的一元二次不等式直接求出解集即可； （2）结合对称轴，分类讨论，根据函数单调性求出不同情况下的最值. 【详解】（1）当时，即为，解得：， 故不等式解集为； （2）因为的图像开口向下且对称轴为， ①当即时，在上单调递减， 故，； ②当时，即时，根据函数图像得：在上 ； ③当时，即时，根据函数图像得：在上 ； ④当时，即时，在上单调递增， . 综上，， 8．（2023秋·云南·高一云南师大附中校考期末）设函数，． (1)当时，证明：方程在上有唯一实根； (2)是否存在实数a，满足：对于任意，都有？若存在，求出所有满足条件的a；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）问题转化，构造函数，由函数单调性结合零点存在定理证明； （2）分类讨论求得在是最大值和最小值，由最大值与最小值的差不大于1可得． 【详解】（1）当时，， 方程在上有唯一实根等价于函数在上有唯一零点． 令，， 因为，， 所以在