2.4.7求解指数型复合函数-高中数学题型分类汇总大全（2023版）

7.求解指数型复合函数 1．（2023秋·上海徐汇·高一上海市西南位育中学校考期末）已知函数，若对于任意，存在，使得，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数函数、指数函数的性质求出、的值域，依题意可得，即可得到不等式，解得即可. 【详解】解：因为，所以，所以，即， 由，则，即， 因为对于任意，存在，使得， 所以，则，解得，即. 故选：A 2．（2023秋·天津南开·高一南开中学校考期末）已知函数，，若对任意的，总存在使得成立，则实数k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的单调性求出两函数的最大值，然后由题意可知，再解关于的不等式可求得结果. 【详解】当时，单调递减，则， 当时，单调递减，则， 所以当时，，所以， 因为在上单调递增， 所以， 因为对任意的，总存在使得成立， 所以， 所以，解得， 故选：C 3．（2022秋·北京海淀·高一人大附中校考阶段练习）当函数的图象与轴有交点时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】函数的图象与轴有交点转化成方程有解，把问题转化为求函数的值域问题． 【详解】函数的图象与轴有交点， 有解. 单调递减，， ， . 故选：C. 4．（2023秋·宁夏银川·高一银川二中校考期末）下列说法错误的是（    ） A．函数（且）的图像恒过定点 B．方程的根所在的区间为 C．函数的最小值为 D．函数的单调递增区间为 【答案】AC 【分析】A选项：由指数函数的性质判断函数的图像恒过定点问题； B选项：由零点存在定理判断方程的根所在的区间； C选项：利用配方法及三角函数的值域求解函数的最小值； D选项：利用复合函数单调性求解函数的单调递增区间. 【详解】对于A：，函数（且）的图像恒过定点，A选项错误； 对于B：令，函数在R上单调递增，，，所以方程的根所在的区间为，B选项正确； 对于C：函数，由，故当时，有最小值0，C选项错误； 对于D：函数在上单调递增，在上单调递减，函数在定义域内单调递减，由复合函数的单调性可知，函数的单调递增区间为，D选项正确. 故选：AC 5．（2023·全国·模拟预测）已知，为导函数，，，则下列说法正确的是（    ） A．为偶函数 B．当且时，恒成立 C．的值域为 D．与曲线无交点 【答案】AD 【分析】对A，由偶函数定义判断；对B，结合指数函数的非负性，判断存在即可；对C，化简，求指数函数复合型函数的值域即可.对D，联立两曲线，判断方程的解即可. 【详解】对A，，，∴为偶函数，A对； 对B，，因为， 所以当，，B错； 对C，由可得， ∵，∴，∴，C错； 对D，由，方程无解，∴与曲线无交点，D对. 故选：AD 6．（2022秋·山东淄博·高一统考期末）已知函数是定义域为的奇函数，下列关于函数的说法正确的是（    ） A． B．函数在上的最大值为 C．函数在上是减函数 D．存在实数，使得关于的方程有两个不相等的实数根 【答案】AC 【分析】根据奇函数的性质，求出的值，再代入检验，即可判断A，再根据指数型复合函数的单调性判断C，求出函数的值域，即可判断B，根据单调性判断D. 【详解】解：因为函数是定义域为的奇函数， 所以，解得，此时， 则 ，符合题意，故A正确； 又， 因为，所以，则，所以，即，故B错误； 因为在定义域上单调递增，且，又在上单调递减， 所以在定义域上单调递减，故C正确； 因为在上是减函数，则与最多有个交点，故最多有一个实数根， 即不存在实数，使得关于的方程有两个不相等的实数根，故D错误. 故选：AC 7．（2023秋·福建宁德·高一统考期末）几位同学在研究函数时，得出了下列四个结论，其中正确的是（    ） A．的值域为 B．的图象关于点对称 C．的图象无限接近直线但又不与该直线相交 D．，，均有 【答案】BCD 【分析】A.先求的范围，再求函数的值域； BC.根据对称性的公式和性质，即可判断； D.根据不等式，时，，再结合基本不等式，即可判断选项. 【详解】A选项：∵，∴，∴.选项A错. B选项：∵，∴的图象关于点对称，选项B对. C选项：当时，，，所以图象以轴为渐近线，又因为图象关于点中心对称，所以直线也为图象的渐近线，选项C对. D选项： ∵当仅当时取等号. ∴ （∵，时，） ∴，选项D对. 故选：BCD 8．（2022秋·吉林白城·高一统考期末）设，表示不超过的最大整数，例如：，.已知函数，则下列叙述中正确的是（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．在上是增函数 D．的值域是 【答案】BCD 【分析】根据题中所给定义，结合函数的奇偶性、单调性、值域对选项依次辨析即可. 【详解】对于A，由已知，，∵，∴，∴， ，∵，∴，， ∴，∴函数不是