2.3.2二次不等式能成立问题-高中数学题型分类汇总大全（2023版）

2.二次不等式能成立问题 1．（2023春·安徽·高三统考开学考试）若函数在其定义域内存在实数满足，则称函数为“局部奇函数”.知函数是定义在上的“局部奇函数”，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意得有解，即有解，利用换元法讨论二次函数在给定区间有解即可. 【详解】根据“局部奇函数”定义知：有解， 即方程有解， 则即有解； 设，则（当且仅当时取等号）， 方程等价于在时有解， 在时有解； 在上单调递增， ， 即实数的取值范围为. 故选D. 2．（2022·高一课时练习）命题“，”为真命题的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题可知，即求. 【详解】原命题可写为“，”， 当时，随x增大而增大，所以取 最大值为3， 所以． 故选：D 3．（2022秋·河北石家庄·高一河北新乐市第一中学校考期中）在R上定义运算：a⊕b＝(a＋1)b.已知1≤x≤2时，存在x使不等式(m－x)⊕(m＋x)<4成立，则实数m的取值范围为（    ） A．{m|－2<m<2} B．{m|－1<m<2} C．{m|－3<m<2} D．{m|1<m<2} 【答案】C 【分析】根据定义求出(m－x)⊕(m＋x)＝m2－x2＋m＋x，将不等式分离参数后，转化为最大值使不等式成立，根据二次函数求出最大值后，解一元二次不等式即可得解. 【详解】依题意得(m－x)⊕(m＋x)＝(m－x＋1)(m＋x)＝m2－x2＋m＋x， 因为1≤x≤2时，存在x使不等式(m－x)⊕(m＋x)<4成立， 所以存在1≤x≤2，使不等式m2＋m<x2－x＋4成立， 即当1≤x≤2时，m2＋m<(x2－x＋4)max. 因为1≤x≤2，所以当x＝2时，x2－x＋4取最大值6， 所以m2＋m<6，解得－3<m<2. 故选：C． 【点睛】本题考查了对新定义的理解能力，考查了不等式能成立问题，考查了二次函数求最值，考查了一元二次不等式的解法，属于中档题. 4．（2022秋·浙江宁波·高一统考期末）已知函数，则存在，对任意的有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】考虑到二次函数的对称轴的不同情况，结合二次函数的单调性，即可判断每个选项的正确与否. 【详解】对于A,当 时，有，故A错误； 对于B，为四次函数， 为指数函数，且是单调递增， 当x取很大的实数时，不存在，使得，故B错误； 对于C，要使 ，必须满足 ， 也即恒有，当时，就有，说明C错误； 对于D，，即 ， 此时，若 ，则 ，那么对任意的，恒成立，故D正确； 故选：D. 5．（2022秋·安徽安庆·高一安徽省桐城中学校考阶段练习）若在定义域内存在实数，满足，则称为“有点奇函数”，若为定义域上的“有点奇函数”，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意即在上有解，设，化简转化为在上有解，分离参数可得，从而可得出答案. 【详解】即在上有解. 根据题意，为定义域上的“有点奇函数”，即在上有解. 即在上有解. 即在上有解. 即在上有解. 设（当且仅当时等号成立） 也即在上有解. 即在上有解. ，当且仅当,即时等号成立. 所以实数m的取值范围是 故选：B 6．（2022春·山西运城·高二统考期末）已知函数的定义域为R，且函数的图象关于点对称，对于任意的，总有成立，当时，，函数，对任意，存在，使得成立，则满足条件的实数的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题干条件，可得为奇函数，且周期为4，根据时的解析式，可求得在上的值域，结合函数的性质，可得在R上的值域为，分析可得只需在上有解即可，根据的解析式，分析计算，即可得答案. 【详解】因为函数的图象关于点对称， 所以图象关于点（0,0）对称，即为定义在R上的奇函数，， 因为， 所以，即的周期为4， 又当时，， 所以，即， 因为时，， 所以当时，， 因为为奇函数， 所以当时， 所以对于任意的，， 因为对任意，存在，使得成立， 所以只需在上有解即可，即在上有解， 整理得在上有解即可， 当t=2时，可得 所以，所以满足条件的实数的取值集合为. 故选：B 【点睛】解题的关键是需熟练掌握函数的周期性、奇偶性等性质，并灵活应用，难点在于需求出的值域，进而分析可得只需在上有解即可，根据存在性问题解题方法，即可得答案， 二、多选题 7．（2023秋·高一课时练习）已知的解集是，则下列说法正确的是（    ） A．不等式的解集是 B．的最小值是 C．若有解，则m的取值范围是或 D．当时，，的值域是，则的取值范围是 【答案】ABD 【分析】根据给定条件，可得，解不等式判断A；利用均值不等式计算判断B；利用对勾函数求范围判断C；探讨二次函数值域判断D作