2.3.1二次不等式恒成立问题-高中数学题型分类汇总大全（2023版）

1.二次不等式恒成立问题 1．（2022秋·浙江杭州·高一校考期中）“不等式在R上恒成立”的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式在R上恒成立，求得，再由，说明不等式在R上恒成立，即可得答案. 【详解】∵不等式在R上恒成立， ∴ ，解得， 又∵，∴，则不等式在R上恒成立， ∴“”是“不等式在R上恒成立”的充要条件, 故选:A. 2．（2022秋·山西太原·高一山西大附中校考期中）若函数的定义域为R，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可知的解集为R，分，两种情况讨论，即可求解. 【详解】函数的定义域为R，可知的解集为R， 若，则不等式为恒成立，满足题意； 若，则，解得． 综上可知，实数k的取值范围是． 故选：B． 3．（2022秋·云南楚雄·高一校考阶段练习）命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求命题“”为真命题的等价条件，再结合充分不必要的定义逐项判断即可. 【详解】因为为真命题，所以或 ， 对A，是命题“”为真命题的充分不必要条件，A对， 对B，是命题“”为真命题的充要条件，B错， 对C，是命题“”为真命题的必要不充分条件，C错， 对D，是命题“”为真命题的必要不充分条件，D错， 故选：A 4．（2023·高一课时练习）已知函数，若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由解析式得到在上单调递增，由于，结合可得到在恒成立，即可得到答案 【详解】解：， 因为在上单调递增，在上单调递增， 所以在上单调递增， 因为，且， 所以，所以，即在恒成立， 所以即，解得， 所以实数的取值范围是， 故选：B 5．（2022春·辽宁沈阳·高二校考期末）若命题“，”是真命题，则实数k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】讨论、，根据二次不等式恒成立求参数范围即可. 【详解】当时显然恒成立， 当时要使命题为真，则： 可得；而时不可能恒成立， 综上，k的取值范围是. 故选：B 6．（2022秋·湖北武汉·高一武汉市第十一中学校考阶段练习）若“，使成立”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将条件转化为，使成立，再参变分离构造函数，转化为最值问题，求导确定最值即可求解. 【详解】若“，使成立”是假命题，则“，使成立”是真命题，即，； 令，则，则在上单增，，则. 故选：C. 7．（2022秋·北京·高一校联考阶段练习）若，不等式恒成立，则a的取值范围是（    ） A． B． C．{a|a＞1} D． 【答案】D 【分析】将已知转化为，，利用函数的单调性求最值即可得解. 【详解】由于，不等式恒成立 所以，恒成立，即 恒成立 令，显然在 上单调递减， 所以实数a的取值范围是 故选：D 【点睛】方法点睛：本题考查不等式的恒成立问题， 不等式恒成立问题常见方法： ①分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）； ②数形结合( 图像在 上方即可)； ③讨论最值或恒成立. 8．（2023·全国·高三专题练习）设函数，若对任意，恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题设构造且在上递减，进而转化为在上恒成立求参数范围即可. 【详解】由题设，且， 令且，则，故在上递减， 所以恒成立，即在上恒成立， 而在上值域为， 所以. 故选：A 【点睛】关键点点睛：已知条件构造，在上递减. 9．（2022秋·江苏苏州·高一苏州中学校考期中）若不等式对一切都成立，则a的最大值为（　　） A．0 B．2 C．3 D． 【答案】D 【分析】采用参变分离法对不等式变形，然后求解变形后的函数的值域，根据参数与新函数的关系求解参数最值. 【详解】因为不等式对一切恒成立， 所以对一切，，即恒成立． 令． 易知在内为减函数．所以， 故，所以的最大值是． 故选：D 10．（2023·高二校考课时练习）已知没有极值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据导数与函数极值的关系可知，或恒成立，再结合二次函数的性质即可得解. 【详解】因为，所以， 因为没有极值，所以或恒成立， 又因为开口向上， 所以恒成立，即， 所以，整理得，解得， 所以. 故选：C. 11．（2022春·河南开封·高三校考阶段练习）已知函数，若，恒成立，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数解析式画出函数图象，即可判断函数为奇函数且在定义域上单调递减，则不等式等价于，即恒成立，再分和两种情况讨论，当时，即可求出参数的取