2.3.4利用单调性解不等式问题-高中数学题型分类汇总大全（2023版）

4.利用单调性解不等式问题 1．（2020·海南·高考真题）若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果. 【详解】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且， 所以在上也是单调递减，且，， 所以当时，，当时，， 所以由可得： 或或 解得或， 所以满足的的取值范围是， 故选：D. 【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题. 2．（2021秋·甘肃武威·高三武威第六中学校考开学考试）已知，，若成立，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由奇偶性的定义得出函数为偶函数，利用导数知函数在区间上为增函数，由偶函数的性质将不等式变形为，利用单调性得出，从而可解出实数的取值范围. 【详解】函数的定义域为，关于原点对称， ，函数为偶函数， 当时，，， 则函数在上为增函数， 由得， 由偶函数的性质得， 由于函数在上为增函数，则，即， 整理得，解得，因此，实数的取值范围是，故选B. 【点睛】本题考查函数不等式的求解，解题的关键在于考查函数的奇偶性与单调性，充分利用偶函数的性质来求解，可简化计算，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 3．（2022·高一单元测试）已知偶函数的定义域为，当时，，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】采用分离常数法和偶函数的性质可确定的单调性，结合可构造不等式求得结果. 【详解】，在上单调递减，又为偶函数， ，，，解得：或， 的解集为. 故选：D. 4．（2022春·广东佛山·高二校考阶段练习）已知函数的定义域为，且满足（是的导函数），则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造，根据已知条件判断在上单调性，又题设不等式等价于，利用单调性及其定义域范围求解集. 【详解】令，则，即在上递增， 又，则等价于，即， 所以，解得，原不等式解集为. 故选：C 5．（2022春·山东威海·高二乳山市第一中学统考阶段练习）已知是定义在R上的偶函数，是的导函数，当时，，且，则的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，根据题意可得函数是偶函数，，且函数在上递增，不等式即为不等式，根据函数得单调性即可得出答案. 【详解】解：令， 因为是定义在R上的偶函数， 所以， 则， 所以函数也是偶函数， ， 因为当时，， 所以当时，， 所以函数在上递增， 不等式即为不等式， 由，得， 所以， 所以，解得或， 所以的解集是. 故选：B. 6．（2022秋·北京·高三北京交通大学附属中学校考阶段练习）已知函数满足（x∈R），且对任意的时，恒有成立，则当时，实数a的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先证明出在[1，+∞）上为减函数，把转化为，即可解得. 【详解】因为函数满足（x∈R），则函数的图像关于直线x＝1对称， 又由对任意的时，恒有成立， 所以任取，有，所以， 所以在[1，+∞）上为减函数. 又由2a2+a+2＝2（a）21，2a2﹣2a+4＝2（a）21， 若，则有， 解得：，即a的取值范围为. 故选：A． 7．（2023·全国·高三专题练习）设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，求其导数结合条件得出单调性，再结合的奇偶性，得出的函数值的符号情况，从而得出答案. 【详解】设，则， ∵ 当时，， 当时，，即在上单调递减. 由于是奇函数，所以,是偶函数，所以在上单调递增. 又，所以当或时，； 当或时，. 所以当或时，. 故选：B. 8．（2022秋·山东青岛·高一山东省青岛第十九中学校考期中）若函数在R单调递增，且，则满足的x的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】通过讨论化简不等式，结合函数的单调性解不等式即可. 【分析】因为函数在R单调递增，且， 所以当时，， 不等式可化为， 所以， 当时，， 不等式可化为， 所以满足条件的不存在， 当时，，不满足关系， 所以满足的x的取值范围是， 故选：D. 9．（2022秋·辽宁沈阳·高三沈阳市第四十中学校联考期中）定义在上的函数满足，若的图像关于点对称，且函数在上单调递减，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件构造函数，易得为奇函数，且单调递减，从而可求得不等式解集. 【详解】因为的图像关于点对称， 由图像平移变换可知的图像关于原点对