2.2.4利用奇偶性求函数解析式-高中数学题型分类汇总大全（2023版）

4.利用奇偶性求函数解析式 1．（2022秋·安徽合肥·高一校考阶段练习）已知函数且，其中为奇函数，为偶函数．若关于的方程在上有两个不同解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，求出函数和，换元将问题转化为一元二次方程在区间上有两个解求解作答. 【详解】依题意，，因为为奇函数，为偶函数，则， 即，解得，，， 令，显然函数在上单调递增，当时，， 因此关于的方程在上有两个不同解， 等价于关于t的方程在上有两个不等实根， ，则，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A 2．（2022春·辽宁沈阳·高二东北育才双语学校校考期中）已知定义在上的奇函数，当时，，当时，有解，则实数的最大值（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】A 【分析】由奇函数的性质得时，，且在上单调递增，进而，当分时，恒成立；当时，结合单调性将问题转化为在上有解，进而得，再解不等式即可得最大值. 【详解】因为定义在上的奇函数，当时，， 所以当时，， 所以当时，函数单调递增，， 时，单调递增，； 所以，由奇函数的性质知，函数在上单调递增， 所以，当时，由于，故，，此时恒成立， 当时，， 所以，当时，有解等价于在上有解， 所以，由在上单调递增得在上有解，即在上有解， 所以，即. 所以，实数m的最大值为. 故选：A 3．（2023秋·湖南郴州·高一校联考期末）设是定义在上的周期为的偶函数，已知当时，，则当 时，的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】当时，由可得出的表达式；当时，由函数的周期性和奇偶性可得出.综合可得结果. 【详解】当时，，， 当时，，， 因为函数为偶函数，则， 综上所述，当时，. 故选：C. 4．（2022秋·吉林·高三校考期末）已知为奇函数，为偶函数，且满足，若对任意的都有不等式成立，则实数的最小值为（    ）. A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】由题意得出、的解析式，不等式恒成立，采用分离参数法，可得转化为求函数的最值，求出函数的最大值即可. 【详解】解： 为奇函数，为偶函数，且① ② ①②两式联立可得，. 由，即， 得， ∵在是增函数，且，在上是单调递增， ∴由复合函数的单调性可知在为增函数， ∴， ∴，即实数的最小值为. 故选：B. 5．（2022秋·广西桂林·高一校考期中）奇函数在上的解析式是，则在上的函数解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】，则，求出.根据奇函数的性质可得， ，即可求得结果. 【详解】，则，由已知可得. 因为为奇函数，所以， 所以. 故选：B. 6．（2023·全国·高三专题练习）已知为偶函数，为奇函数，且满足.若对任意的都有不等式成立，则实数的最大值为（    ）. A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】由题意得出、的解析式，不等式恒成立，采用分离参数法，可得转化为求函数的最值，求出函数的最小值即可. 【详解】 为偶函数，为奇函数，且① ② ①②两式联立可得，. 由得， ∵在是增函数，且，在上是单调递增， ∴由复合函数的单调性可知在为增函数， ∴， ∴，即实数的最大值为 故选：D. 7．（2022秋·河南漯河·高一校考期末）下列说法中，正确的是（    ） A．集合和表示同一个集合 B．函数的单调增区间为 C．若，则用a，b表示 D．已知是定义在上的奇函数，当时，，则当时， 【答案】BC 【分析】对于A，根据集合的定义即可判断；对于B，利用复合函数的单调性即可判断；对于C，利用对数的换底公式及运算性质即可判断；对于D，利用函数的奇偶性求对称区间上的解析式即可判断. 【详解】对于A，集合中元素为数，集合为点，可知表示的不是同一个集合，所以A选项错误； 对于B，根据解得函数的定义域为， 令则， 为二次函数，开口向下，对称轴为， 所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 函数为增函数，根据复合函数的单调性可知函数的单调增间为，所以B选项正确； 对于C，因为，，根据对数的换底公式可得，所以C选项正确； 对于D，因为当时，，可令，则，所以 ， 又因为是定义在上的奇函数，所以与题干结果不符，所以D选项错误； 故选：BC. 8．（2023春·湖北黄冈·高二湖北省红安县第一中学校考阶段练习）已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则（    ） A．当时， B．，都有 C．的解集为 D．的单调递增区间是， 【答案】BD 【分析】对于A，利用奇函数的定义，可得答案；对于B、D，利用导数以及奇函数的性质，可得答案；对于C，根据对数函数的性质以及不等式的性质，可得答案. 【详解】对于A，当时，，则， 函数在其定义域上是奇函数，则，故A错误； 对于B，当时，，， 当时，，单调递增；当时，，单调递