2.2.2构造方程组法求函数解析式-高中数学题型分类汇总大全（2023版）

2.构造方程组法求函数解析式 1．（2023秋·吉林·高一统考期末）已知定义在上的奇函数和偶函数满足，则下列说法错误的是（    ） A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递增 C．无最小值 D．无最小值 【答案】D 【分析】结合奇偶性定义可构造方程组求得，由指数函数单调性、复合函数单调性的判断方法可知AB正误；由奇偶性可确定单调性，进而确定CD正误. 【详解】由题意得：， 由得：，； 对于A，在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增，A正确； 对于B，设，则当时，； 在上单调递增，在上单调递增， 在上单调递增，在上单调递增，B正确； 对于C，由A知：在上单调递增，又为定义在上的奇函数， 在上单调递增，又为连续函数，在上单调递增， 无最小值，C错误； 对于D，由B知：在上单调递增，又为定义在上的偶函数， 在上单调递减，又为连续函数，，D错误. 故选：D. 2．（2023·全国·本溪高中校联考模拟预测）已知函数满足，若，，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由方程组法求得，不等式用参数分离法转化为，引入新函数，利用导数求得函数的最小值，从而得参数范围． 【详解】①， 又②， ①×2－②得， ∴．又，即，所以， 令，， 令（），则， 所以即在单调递增，，则在递增． ，∴． 故选：C． 3．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第六中学校校考期末）已知和分别是定义在上的偶函数和奇函数，若，则的最小值为（    ） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】B 【分析】先利用奇偶性，列出方程组算得，令，用基本不等式求最小值. 【详解】由和分别是定义在上的偶函数和奇函数， 则，， 故，① ，② ①+②得，故， 令，则，则， 当且仅当，即时取等， 故的最小值为1， 故选：B. 4．（2023秋·山东青岛·高一统考期末）若定义在上的函数满足：当时，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用解方程组的方法求出函数解析式，根据周期即可求得结果. 【详解】当时，， 则， 令，则，， 用换，得， 联立解得， 所以，，， ，是以为周期的函数. . 故选：C 5．（2023春·湖北武汉·高一武汉市开发区一中校考阶段练习）已知是定义域为的函数，且是奇函数，是偶函数，满足，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据奇偶函数构造方程组求出的解析式，再根据题意得到在单调递增，分类讨论即可求解. 【详解】由题可得， 因为是奇函数，是偶函数， 所以， 联立解得， 又因为对任意的，都有成立， 所以，所以成立， 构造， 所以由上述过程可得在单调递增， (i)若，则对称轴，解得； (ii) 若，在单调递增，满足题意； (iii) 若，则对称轴恒成立； 综上，， 故选：B. 6．（2023·全国·高三专题练习）若函数的定义域为，且，则的最大值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】首先根据方程组法求解函数解析式，然后针对，与三种情况分别讨论函数值的取值范围，即可求出函数的最大值. 【详解】由①，得②， ①得③， ②-③得， 因为，所以． 当时，； 当时，； 当时，（当且仅当时，等号成立）． 综上所述，的最大值为. 故选：B 7．（2022·高一单元测试）是定义域为的函数，且为奇函数，为偶函数，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数的奇偶性列方程组求的解析式，进而代入自变量求的值. 【详解】由题意，，即， ，即， 所以，可得， 故. 故选：A. 8．（2022秋·山西晋城·高一校联考期中）若奇函数和偶函数满足，则（    ） A． B．的值域为 C．函数在上单调递增 D．函数的最大值与最小值之和为2 【答案】ABD 【分析】令结合奇偶性构造方程，与原方程组成方程组求解解析式，可判断ABC选项是否正确；在选项D中，分析函数取得最值处是互为相反数的两个自变量，根据奇函数特征可求得最大值与最小值之和. 【详解】由①，得， 因为为奇函数，为偶函数，所以②． ①-②得，A正确． ①+②得，因为，所以，B正确． ，因为在上单调递增，所以在上单调递减，C错误． ， 令，当时，， 当时，，由基本不等式知时取得最小值，时 取得最大值， 因为为奇函数，其最小值与最大值之和为0，所以的最大值与最小值之和为2，D正确． 故选：ABD 9．（2023·全国·高三专题练习）已知分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且，则下列说法正确的有（    ） A． B．在上单调递减 C．关于直线对称 D．的最小值为1 【答案】ACD 【分析】通过题目信息求出的解析式，然后利用函数性质进行判断. 【详解】由题，将代入得，因为分