压轴题型07 阿波罗尼斯圆问题-2023年高考数学压轴题专项训练（新高考专用）

压轴题07阿波罗尼斯圆问题 在近几年的高考中，以阿波罗尼斯圆为背景的考题不断出现，备受命题者的青睐，下面我们通过一例高考题，讲解如何运用阿波罗尼斯圆进一步加强对与此圆与关试题的认识。 背景展示 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一. 求证：到两定点的距离的比值是不等于1的常数的点的轨迹是圆. 如图，点为两定点，动点满足， 则时，动点的轨迹为直线；当时，动点的轨迹为圆， 后世称之为阿波罗尼斯圆． 证明：设．以中点为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，则． 又设，则由得:， 两边平方并化简整理得:， 当时，，轨迹为线段的垂直平分线； 当时，，轨迹为以点为圆心，以长为半径的圆． 隐形的阿波罗尼斯圆 典型例题 例1、如图，圆与轴相切于点，与轴正半轴交于两点（B在A的上方），且． ( y x O T C N A M B ) （Ⅰ）圆的标准方程为；（Ⅱ）过点任作一条直线与圆相交于两点，下列三个结论：①；②；③． 其中正确结论的序号是.（写出所有正确结论的序号） 方法一可以改进为： 这里的第（Ⅰ）问并不很难,只要考生有一定平面几何基础既能轻易解出.但第（Ⅱ）问有难度.这是因为当圆的弦MN绕定点A旋转时,各有关线段的长度都在变化,从而相应线段的比值也就难于确定，方法一运算量较大。可是,如果你懂得阿波罗圆,且能看出图中的圆正是一例阿波罗圆,则其解法同样是轻而易举的. 练习1：若，则的最大值为 阿波罗尼斯圆是一个重要的题根,在历次高考中累累出现。我们在学习过程中应该强化对这一知识点的整理。如果掌握这一知识背景，可以主动引导求解的方向，降低求解的难度。但有些问题中，阿氏圆并不那么明显，需要对图形分析后才能找到对应的动点具有阿氏圆的特点. 练习2：如图，在平面直角坐标系中，点，直线。设圆的半径为，圆心在上。 （Ⅰ）若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线的方程； （Ⅱ）若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围. 针对训练 一、单选题 1．公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯结合前人的研究成果，写出了经典之作《圆锥曲线论》，在此著作第七卷《平面轨迹》中，有众多关于平面轨迹的问题，例如：平面内到两定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆.后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆.已知平面内有两点和，且该平面内的点满足，若点的轨迹关于直线对称，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 2．古希腊数学家阿波罗尼奧斯在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆反射，其反射光线必经过椭圆的另一焦点．设椭圆的左、右焦点分别为，，若从椭圆右焦点发出的光线经过椭圆上的点A和点B反射后，满足，且，则该椭圆的离心率为（    ）． A． B． C． D． 3．两千多年前，古希腊数学家阿波罗尼斯采用切割圆锥的方法研究圆锥曲线，他用平行于圆锥的轴的平面截取圆锥得到的曲线叫做“超曲线”，即双曲线的一支，已知圆锥PQ的轴截面为等边三角形，平面，平面截圆锥侧面所得曲线记为C，则曲线C所在双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D．2 4．古希腊数学家阿波罗尼奥斯在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆反射，其反射光线必经过椭圆的另一焦点，设椭圆方程，，为其左、右焦点，若从右焦点发出的光线经椭圆上的点A和点B反射后，满足，，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 5．古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中有这样一个命题：平面内与两定点的距离的比为常数k（且）的点的轨迹为圆，后人将这个圆称为阿波罗尼奥斯圆．已知点圆C：上有且只有一个点P满足，则r的值是（    ） A．2 B．8 C．8或14 D．2或14 6．已知平面内两个定点，及动点，若（且），则点的轨迹是圆.后世把这种圆称为阿波罗尼斯圆.已知，，直线，直线，若为，的交点，则的最小值为（    ） A．3 B． C． D． 7．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻且系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点与两定点，的距离之比为，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆．如动点与两定点，的距离之比为时的阿波罗尼斯圆为．下面，我们来研究与此相关的一个问题：已知圆上的动点和定点，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值（）的点的轨迹是圆”.后来，人们