压轴题型06 直线和圆中的隐形圆问题-2023年高考数学压轴题专项训练（新高考专用）

压轴题06 直线和圆中的隐形圆问题 在考查直线与圆的综合问题时，有些时候题设条件中没有直接给出相关圆的信息，而是隐含在题目中，要通过分析和转化，发现圆(或圆的方程)，从而可以利用圆的知识来求解，这类问题称为“隐圆”问题隐圆问题是高中数学中难度较大的一个跨单元主题，它承接于初中的圆，融入了高中的平面向量，解三角形，解析几何等内容，综合性很高，更是学生学习的难点之一！当然，这部分内容在课本上也多有涉及，比如阿波罗尼斯圆，圆的参数方程等，基于此，本节将系统梳理相关内容，力争做成一份全面，完整的隐圆资料. 1利用圆的定义（到定点的距离等于定长的点的轨迹）确定隐形圆 2圆的内接四边形与托勒密定理 3向量隐圆 4米勒圆与最大视角 1.如图32­3所示，已知A，B是圆C1：x2＋y2＝1上的动点，AB＝，P是圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝1上的动点，则|＋|的取值范围为________． 图32­3 2.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1,0)，B(5,0)．若圆M：(x－4)2＋(y－m)2＝4上存在唯一点P，使得直线PA，PB在y轴上的截距之积为5，则实数m的值为_________． 3. 如果圆上总存在两个点到原点的距离为，则实数的取值范围为_______. 4.已知点在动直线上的投影为点M，若点，则的最大值为 A．1 B． C．2 D． 5.若对于圆上任意的点，直线上总存在不同两点，，使得，则的最小值为______. 6.在中， （1）求；（2）若，求周长的最大值. 7.已知线段AB的端点B的坐标是，端点A在圆上运动，则线段AB的中点M的轨迹方程是__________. 8.已知向量满足，且向量的夹角为，则的最大值为_________. 9.已知平面向量、、满足，，，则的最大值为（） A． B． C． D． 10.已知点.点为圆上一个动点，则的最大值为__________. 解析：如图，设D是圆上不同于点P的任意一点，连结DA与圆交于点E，连接 EC，由三角形外角的性质，可知，由圆周角定理：， 因此，当且仅当的外接圆与圆相切于点时，最大. 此时，可设的外接圆圆心，由于此时三点共线且 ，而，则，解得：， 于是，由正弦定理，则的最大值为. 11.如图32­2所示，在平面直角坐标系xOy中，已知B，C为圆x2＋y2＝4上两点，点A(1,1)，且AB⊥AC，则线段BC的长的取值范围是________． 图32­2 12.在平面直角坐标系xOy中，已知点A，B在圆x2＋y2＝4上，且AB＝2，点P(3,1)，·＝16，设AB的中点M的横坐标为x0，则x0的所有值为________． 13.在平面直角坐标系xOy中，已知A，B为圆C：(x＋4)2＋(y－a)2＝16上两个动点，且AB＝2.若直线l：y＝2x上存在唯一的一个点P，使得＋＝，求实数a的值． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 压轴题06 直线和圆中的隐形圆问题 在考查直线与圆的综合问题时，有些时候题设条件中没有直接给出相关圆的信息，而是隐含在题目中，要通过分析和转化，发现圆(或圆的方程)，从而可以利用圆的知识来求解，这类问题称为“隐圆”问题隐圆问题是高中数学中难度较大的一个跨单元主题，它承接于初中的圆，融入了高中的平面向量，解三角形，解析几何等内容，综合性很高，更是学生学习的难点之一！当然，这部分内容在课本上也多有涉及，比如阿波罗尼斯圆，圆的参数方程等，基于此，本节将系统梳理相关内容，力争做成一份全面，完整的隐圆资料. 1 利用圆的定义（到定点的距离等于定长的点的轨迹）确定隐形圆 2圆的内接四边形与托勒密定理 3 向量隐圆 4 米勒圆与最大视角 1.如图32­3所示，已知A，B是圆C1：x2＋y2＝1上的动点，AB＝，P是圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝1上的动点，则|＋|的取值范围为________． 图32­3 【答案】[7,13] 【解析】法一：将问题特殊化，所求问题与两圆的具体位置无关，只与其相对位置有关，故问题可转化为圆C1：x2＋y2＝1与C′2：(x－5)2＋y2＝1中相应问题，这样易于解决．如图，当AB⊥x轴，且AB与点P位于较近一侧时，|＋|取得最小值，此时，|＋|min＝2×(5－)＝7.同理，求得|＋|max＝2×＝13.所以|＋|的取值范围为[7,13]． 法二：设AB的中点为M，由AB＝，知C1M＝，所以点M的轨迹为以C1为圆心，为半径的圆． 所以||的取值范围是[，]．由于|＋|＝2||, 所以|＋|的取值范围为[7,13]． 2.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1,0)，B(5,0)．若圆M：(x－4)2＋(y－m)2＝4上存在唯一点P，使得直线PA，PB在y轴上的截