压轴题型05 圆锥曲线中的极点、极线问题-2023年高考数学压轴题专项训练（新高考专用）

压轴题05 圆锥曲线中的极点、极线问题 “极点极线”是射影几何中的内容，不属于高考考查的范围，但极点极线是圆锥曲线的一种基本特征，自然成为命题人命题的背景知识和方向，可以肯定的说“极点极线”为背景的考题是出题人思维中的定势方向，学生掌握了极点极线的相关知识，就可以从“高观点下”看待高中圆锥曲线的相关内容，更容易抓住问题的本质，虽然高考解答题不能用相关结论，但是我们可以将它作为辅助手段，快速的找到正确答案，然后再用初等方法写过程解题。也就是说只有熟练“二级结论”才能明确运算方向、提高运算效率. 1 椭圆中的极点与极线问题 2 双曲线中的极点与极线问题 3抛物线中的极点与极线问题 极点极线的定义 1. 二次曲线的替换法则　 对于一般式的二次曲线，用代，用代，用代xy，用代x，用代y，常数项不变，可得方程： ． 2. 极点极线的代数定义　 对于二次曲线，我们称点（非二次曲线的中心）与直线是关于曲线的一对极点极线，也称点P为直线l关于曲线的极点，直线l为点P关于曲线的极线． 高中阶段，常见的二次曲线的极点极线的方程如下： (1) 圆　①极点关于圆的极线方程是：； ②极点关于圆的极线方程是：； ③极点关于圆的极线方程是：． (2) 椭圆　极点关于椭圆的极线方程是：． (3) 双曲线　极点关于双曲线的极线方程是：． (4) 抛物线　极点关于抛物线的极线方程是：． 注　①极点极线是成对出现的！②我们熟知的焦点和焦点对应的准线就是最常见的极点极线！ ③对于中点弦，弦中点方程也可由上述方程得到！具体参见前面的相关专题． 3. 极点极线的几何意义　 (1) 若极点P在二次曲线上，则极线是过点P的切线方程． (2) 若极点P在二次曲线内部，则极线是过点P的弦两端端点的切线交点的轨迹．如图所示，过点P的弦AB、CD的两端端点作切线，得到的直线MN即为点P对应的轨迹．【极线和二次曲线必定相离】 (3) 若极点P在二次曲线外部，分成两种情况： ①极线在二次曲线内的部分是点P对二次曲线的切点弦；【极线和二次曲线必定相交】 ②极线在二次曲线外的部分是过点P的弦两端端点的切线交点的轨迹． 4. 极点极线的配极性质　 ①点P关于二次曲线的极线p经过点Q点Q关于二次曲线的极线q经过点P．②直线p关于二次曲线的极点P在直线q上直线q关于二次曲线的极点Q在直线p上． ①②说白了，就是点P和点Q是二次曲线的一组调和共轭点． 1.若椭圆的焦点在x轴上，过点作圆的切线，切点分别为A、B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是 ． 　2. 如图所示，内外两个椭圆的离心率相同，从外层椭圆顶点向内层椭圆引切线AC、BD，设内层椭圆方程为，若直线AC与BD的斜率之积为，则椭圆的离心率为( 　 )． A． B． C． D． 3. 如图，已知A、B分别为椭圆的右顶点和上顶点，直线l∥AB，l与x轴、y轴分别交于C、D两点，直线CE、DF为椭圆的切线，则CE与DF的斜率之积等于( 　 )． A． B． C． D． 　　　　 4.如图，O是坐标原点，过的直线分别交抛物线于A、B两点，直线BO与过点A平行于x轴的直线相交于点M，过点M与此抛物线相切的直线与直线相交于点N．则( 　 )． A． B． C． D． 5.设a、b是关于t的方程的两个不等实根，则过，两点的直线与双曲线的公共点的个数为( 　 )． A．0 B．1 C．2 D．3 6. 过椭圆上一点M作圆的两条切线，点A、B为切点．过A、B的直线l与x轴、y轴分别交于P、Q两点，则△POQ的面积的最小值为( 　 )． A． B． C．1 D． 7.已知双曲线，圆，过双曲线的任意一点作圆C的两条切线，其切点分别为A、B．若直线AB与x轴、y轴分别交于M、N两点，则 ． A． B． C． D． 8.圆的切线与椭圆交于两点A、B，分别以A、B为切点的椭圆的切线交于点P，则点P的轨迹方程为 ． 9.设、、、是平面直角坐标系中两两不同的四点，若，，且,则称、调和分割、，已知平面上的点C、D调和分割A、B，则下面说法正确的是( 　 )． A．C可能是线段AB的中点 B．D可能是线段AB的中点 C．C、D可能同时在线段AB上 D．C、D不可能同时在线段AB的延长线上 10.过点的动直线l交圆于点A、B，O为坐标原点，若在线段AB上的点Q满足，则 ． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 压轴题05 圆锥曲线中的极点、极线问题 “极点极线”是射影几何中的内容，不属于高考考查的范围，但极点极线是圆