专题2.3 函数的奇偶性与周期性-2024年高考数学一轮复习《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（新高考专用）

专题2.3 函数的奇偶性与周期性 思维导图 知识点总结 知识点一　函数奇偶性的几何特征 一般地，图象关于y轴对称的函数称为偶函数，图象关于原点对称的函数称为奇函数． 知识点二　函数奇偶性的定义 1．偶函数：函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数． 2．奇函数：函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数． 知识点三　奇(偶)函数的定义域特征 奇(偶)函数的定义域关于原点对称． 知识点四　用奇偶性求解析式 如果已知函数的奇偶性和一个区间[a，b]上的解析式，想求关于原点的对称区间[－b，－a]上的解析式，其解决思路为： (1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设． (2)要利用已知区间的解析式进行代入． (3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)． 知识点五　奇偶性与单调性 若函数f(x)为奇函数，则f(x)在关于原点对称的两个区间[a，b]和[－b，－a]上具有相同的单调性；若函数f(x)为偶函数，则f(x)在关于原点对称的两个区间[a，b]和[－b，－a]上具有相反的单调性． 典型例题分析 考向一 函数奇偶性的判断 例1　判断下列函数的奇偶性． (1)f(x)＝； (2)f(x)＝x2(x2＋2)； (3)f(x)＝； (4)f(x)＝＋. 反思感悟　判断函数奇偶性的方法 (1)定义法： ①定义域关于原点对称； ②确定f(－x)与f(x)的关系． (2)图象法． 考向二 利用函数的奇偶性求解析式 例2　函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)＝－x＋1，求当x<0时，f(x)的解析式． 反思感悟　求给定哪个区间的解析式就设这个区间上的变量为x，然后把x转化为－x，此时－x成为了已知区间上的解析式中的变量，通过应用奇函数或偶函数的定义，适当推导，即可得所求区间上的解析式． 考向三 构造方程组求函数的解析式 例3　设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝，求函数f(x)，g(x)的解析式． 反思感悟　f(x)＋g(x)＝对定义域内任意x都成立，所以可以对x任意赋值，如x＝－x. 利用f(x)，g(x)一奇一偶，把－x的负号或提或消，最终得到关于f(x)，g(x)的二元方程组，从中解出f(x)和g(x)． 考向四 利用函数的奇偶性与单调性比较大小 例4　设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是(　　) A．f(π)>f(－3)>f(－2) B．f(π)>f(－2)>f(－3) C．f(π)<f(－3)<f(－2) D．f(π)<f(－2)<f(－3) 反思感悟　利用函数的奇偶性与单调性比较大小 (1)自变量在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小； (2)自变量不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小． 基础题型训练 一、单选题 1．已知函数是定义在R上的偶函数，时，，那么的值是多少（   ）. A． B． C． D． 2．已知定义在上的奇函数满足，则（    ） A． B．0 C．1 D．2． 3．已知函数与函数分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且，则 A．1 B．2 C．0 D．-1 4．已知非空集合A，B满足：，，函数，对于下列两个命题：①存在唯一的非空集合对，使得为偶函数；②存在无穷多非空集合对，使得方程无解.下面判断正确的是（    ） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①､②都正确 D．①､②都错误 5．已知定义在上的函数是偶函数，且在上单调递增，则满足的的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．若函数同时满足: ①对于定义域上的任意,恒有； ②对于定义域上的任意,当时,恒有； 则称函数为“理想函数”.给出下列三个函数：（1）（2）（3），其中能被称为“理想函数”的有（    ）个. A．1 B．2 C．3 D．4 二、多选题 7．已知，设函数，，，若的最大值为，最小值为，那么和的值可能为（    ） A．4与1 B．5与2 C．5与3 D．6与4 8．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列结论正确的是（    ） A． B．当时， C．是图象的一条对称轴 D．在上单调递增 三、填空题 9．函数为偶函数，当时，，则时，________． 10．已知函数，若，则实数的取值范围是______． 11．已知定义在的偶函数在是增函数，且，则不等式的解集是______． 12．已知是R上的偶函数，且，当时，，则__________. 四、解答题 13．函数