专题2.2 函数的单调性与最值-2024年高考数学一轮复习《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（新高考专用）

2.2 函数的单调性与最值 思维导图 知识点总结 知识点一　增函数与减函数的定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I： (1)如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们称它是 ． (2)如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们称它是 ． 思考　(1)所有的函数在定义域上都具有单调性吗？ (2)在增函数和减函数定义中，能否把“任意x1，x2∈D”改为“存在x1，x2∈D”？ 答案　(1)不是；(2)不能． 知识点二　函数的单调区间 如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的) ，区间D叫做y＝f(x)的 ． 特别提醒：(1)函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，所以单调区间的端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开． (2)单调区间D⊆定义域I. (3)遵循最简原则，单调区间应尽可能大． 知识点三　函数的最大(小)值及其几何意义 最值 条件 几何意义 最大值 ①对于∀x∈I，都有 ，②∃x0∈I，使得 函数y＝f(x)图象上最高点的纵坐标 最小值 ①对于∀x∈I，都有 ，②∃x0∈I，使得 函数y＝f(x)图象上最低点的纵坐标 思考　函数f(x)＝x2＋1≥－1总成立，f(x)的最小值是－1吗？ 答案　f(x)的最小值不是－1，因为f(x)取不到－1. 知识点四　求函数最值的常用方法 1．图象法：作出y＝f(x)的图象，观察最高点与最低点，最高(低)点的纵坐标即为函数的最大(小)值． 2．运用已学函数的值域． 3．运用函数的单调性： (1)若y＝f(x)在区间[a，b]上是增函数，则ymax＝ ，ymin＝ ． (2)若y＝f(x)在区间[a，b]上是减函数，则ymax＝ ，ymin＝ ． 4．分段函数的最大(小)值是指各段上的最大(小)值中最大(小)的那个． 典型例题分析 考向一 函数单调性的判定与证明 例1　根据定义，研究函数f(x)＝在x∈(－1,1)上的单调性． 反思感悟　利用定义判断或证明函数单调性的步骤 考向二 求单调区间并判断单调性 例2　(1)如图是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？ (1)函数单调区间的两种求法 ①图象法．即先画出图象，根据图象求单调区间． ②定义法．即先求出定义域，再利用定义法进行判断求解． (2)函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单调区间是定义域的子集；当函数出现两个以上单调区间时，单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；在单调区间D上函数要么是增函数，要么是减函数，不能二者兼有． 考向三 利用函数的单调性求最值 例3　已知函数f(x)＝，x∈[3,5]． (1)判断函数f(x)的单调性并证明； (2)求函数f(x)的最大值和最小值． 反思感悟　(1)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则f(x)的最大值为f(b)，最小值为f(a)． (2)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，则f(x)的最大值为f(a)，最小值为f(b)． (3)若函数y＝f(x)有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决定出最大(小)值．函数的最大(小)值是整个值域范围内的最大(小)值． (4)如果函数定义域为开区间，则不但要考虑函数在该区间上的单调性，还要考虑端点处的函数值或者发展趋势． 基础题型训练 一、单选题 1．函数在上是减函数，则（    ） A． B． C． D． 2．若函数f(x)是R上的增函数，对实数a，b，若a＋b>0，则有(　　) A．f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b) B．f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b) C．f(a)－f(b)>f(－a)－f(－b) D．f(a)－f(b)<f(－a)－f(－b) 3．函数为的导函数，令，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 4．函数的值域为 A． B． C． D． 5．设a，，若时，恒有，则（    ） A． B． C． D． 6．已知函数的图像关于对称，且对任意的，，总有，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．函数满足条件：①