专题10 数列-【三轮冲刺】2023年新高考数学考点查缺补漏与热点预测（新高考专用）

专题10数列 一、思维方法 二、查缺补漏 考点一：累加法—形如an＋1－an＝f(n)，求an 考点二：累乘法——形如＝f(n)，求an 考点三：构造法——形如an＋1＝Aan＋B(A≠0且A≠1，B≠0)，求an 考点四：由an与Sn的关系求通项 考点五：数列的性质 考点六：等差数列基本量的运算 考点七：等差数列的判定与证明 考点八：等差数列项的性质 考点九：等差数列前n项和的性质 考点十：等差数列前n项和的最值 考点十一：等比数列基本量的运算 考点十二：等比数列的判定与证明 考点十三：等比数列的性质及应用 考点十四：分组转化求和 考点十五：裂项相消求和 考点十六：错位相减求和 三、真题训练 2021年真题 2022年真题 四、热点预测 单选题：共8题 多选题：共4题 填空题：共4题 解答题：共6题 【思维方法】 1.由数列的递推关系求通项公式的常用方法 (1)已知a1，且an－an－1＝f(n)，可用“累加法”求an. (2)已知a1(a1≠0)，且＝f(n)，可用“累乘法”求an. 2.已知a1且an＋1＝pan＋q(其中p，q均为常数，pq(p－1)≠0).把原递推公式转化为an＋1－t＝p(an－t)，其中t＝，再利用换元法转化为等比数列求解. 3.由Sn求an的步骤 (1)先利用a1＝S1求出a1. (2)用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式. (3)注意检验n＝1时的表达式是否可以与n≥2的表达式合并. 4.Sn与an关系问题的解题思路 根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化， (1)由an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式求解；(2)转化为只含an，an－1(n≥2)的关系式. 5.在数学命题中，以数列为载体，常考查周期性、单调性. 6.(1)研究数列的周期性，常由条件求出数列的前几项，确定周期性，进而利用周期性求值.(2)数列的单调性只需判定an与an＋1的大小，常用作差或作商法进行判断. 7.等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题. 8.数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法. 9.证明数列是等差数列的主要方法： (1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证an－an－1为同一常数. (2)等差中项法：验证2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)都成立. 10.判定一个数列是等差数列还常用到的结论： (1)通项公式：an＝pn＋q(p，q为常数)⇔{an}是等差数列. (2)前n项和公式：Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)⇔{an}是等差数列.问题的最终判定还是利用定义. 11.项的性质：在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq. 12.和的性质：在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则 (1)S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)； (2)S2n－1＝(2n－1)an. (3)依次k项和成等差数列，即Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等差数列. 13.求等差数列前n项和的最值，常用的方法：(1)利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，或者利用性质求其正负转折项，便可求得和的最值；(2)利用公差不为零的等差数列的前n项和Sn＝An2＋Bn(A，B为常数，A≠0)为二次函数，通过二次函数的性质求最值. 14.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解. 15.等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝＝. 16.证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可. 17.在利用递推关系判定等比数列时，要注意对n＝1的情形进行验证. 18.在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是“若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度. 19.等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n项和公式的变形.根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口. 20.若数列{cn}的通项公式为cn＝an±bn，且{an}，{bn}为等差或等比数列，可